아름다움은 왜 진리인가?

Why Beauty Is Truth by Ian Stewat

서문

에바리스트 갈루아...이 책의 시작을 알린다. 그로 부터 시작된 군론이 이 책의 핵심중 하나이다. 군론은 대칭과 관련이 있는 개념이다.

사실 이 책에서 이야기하는 아름다움은 대칭인 것 같다.

 

1장 바빌론의 서기관들

아...고대 바빌론은 2차방정식의 해법을 알고 있었다. 기하학적이 해법이 인상적이다. 몇번 읽어 보고, 실제해 보면서 그 방법을 익혔는데,

고등학교때인가 배운 2차방정식의 근의 공식을 유도해내는 과정과 아주 흡사하다. 하지만 그것보다 더 직관적이며 시각적이어서, 이해하기가 한결 수월하다. 아주 놀라운 해법이다. 대수와 기하가 이렇게 연관이 되다니...

 

2장 간판스타

[기하학원론]을 쓴 것으로 알려진 유클리드가 간판스타이다. [기하학 원론]은 성서 다음으로 많이 읽혀진 책이라는데, 갑자기 그 책을 읽거 보고 싶다. 많은 저명한 과학자들이 이 책으로부터 영감을 받았다고 하는데, 과연 그들은 이 책에서 무엇을 발견했더란 말인가?

인상적인 말은 "우리의 이야기에서 중요한 부분은 [원론]이 담고 있는 내용이 아니라, 담고 있지 않은 내용이다." 원론에 담겨 있지 않은 일부 문제들은 그 이유를 찾는 과정에서 수학의 지평을 크게 넓혀왔다. 답이 없는 문제에 대해 '왜 답이 없지?'라고 묻고 그 이유를 찾는 과정에서 새로운 수학이 창조되고, '자연과학에서 수학이지니는 비합리적인 효용성'의 실제적인 예가 되어 왔다는 것은 참 놀랍다.

 

3장 페르시아의 시인

우마르 하이얌-그리스 기하에 바탕을 둔 3차방정식의 해법의 발견

페르마의 마지막 정리는 디오판토스의 [산술]의 여백에 낙서처럼 적힌 페르마의 추측에서 비롯하여 350년이라는 시간 후에 앤드루 와일즈에 의해 증명이 된다.

 

4장 도박하는 수학자

이 사람은 카르다노를 지칭하는 말이렷다. 시기는 1500년대 중반

3차방정식의 대수적 해법의 발견에는 여러 사람이 관련이 된다.  1515년 경 델 페로는 3차방정식 유형중 일부에 대한 해법을 발견한다. 타르탈리아는 델 페로의 방식을 재발견하며, 카르다노의 끈질긴 설득 끝에 타르탈리아가 그 해법을 알려준다. 3차방정식의 근의 공식은 카르다노의공식으로 알려지게 된다. 3차방정식을 풀 때 나타나는 허수에 대해 어떻게 보아야 할 지에 대한 당황스러운 상황이 발생하게 된다. 봄벨리는 음수의 제곱근 잘 조작하면 쓸모 있는 결과를 얻을 수 있음을 인식하게 된다.페라리는 4차방정식의 해법을 발견한다.

 

5장 발자국을 감추는 여우

가장 위대한 수학자중 한 사람인 가우스, 그는 발자국을 감추는 여우처럼, 어떤 수학 정리를 증염하거나 생각해내는 데 있어, 어떻게 그러한 아이디어나 직관을 얻게 되었는지 철저히 감추었다. 비유클리드기하학에 대한 이론도 그의 생각에 이미 존재했던 것이다. 보여이나 로바체프스키가 비유클리드기하를 발견하기 전에, 그리고 그의 유명한 제자 리만은 곡면에 대한 가우스의 연구를 다차원공간으로 확장시켜 결국은 아인쉬타인의 중력이론의 핵심부분을 증명하는데 사용되게 된다.

 

6장 좌절한 의사와 병약한 천재

방데르몽드의 대칭함수

라그랑주 "지금까지 발견된 방정식의 다양한 해법...왜 이러한 방식들이 3,4차에서는 성공했지만 그보다 더 높은 차수의 방정식에서는 실패했는지 설명해 보려한다." 왜 실패했는지 설명하려는 시도가 수학자로서 새로운 지평을 여는 사고 방식이었다.

루피니, 5차방정식을 근호로 풀 수 없다는 것을 증명했다고 믿었다. 그는 치환이라는 개념에 기반하여 연구를 했다. 여기서 대칭문제가 서서히 수면에 떠오른다. 루피니의연구가 제대로 인정받지 못했던 이유중 한가지는 그와 같은 독창적인 증명방식때문일지도 모른다. 대단한 업적이었으나 인정받지 못하고 죽기 불과 1년전에 코시로 부터 찬사를 얻게된다. 그는 좌절한 의사이었다.

그러면 그 뒤를 이은 병약한 천재는...아벨이다. 1823년 말에 그는 5차방정식의 풀이가 불가능함을 증명했고, 아깝게 실패했던 루피니와는 달리 그의 증명에는 어떤 결함도 없었다. 아벨은 폐렴에 걸려 약혼자의 품안에서 그의 생을 마감하게된다.

 

7장 불운한 혁명가

아벨이 사망하자 마자 어떤 5차방정식은 근호만을 써서 풀 수 없다는 증명이 인정받기 시작했다. 그런 와중에 몇몇의 천재적인 수학자들은 근호로 풀 수 있는 5차방정식도 존재한다는 사실을 증명해 냈다.

문제는..... 만약 어떤 5차방정식은 풀리는데 반해 다른 5차 방정식은 풀리지 않는다면, 그 둘을 구분할 수 있는 기준은 무엇일까? 이 의문에 대한 해답은 수학과 수리물리학이 진로를 바꾸어 놓았다.

'그래요 모두 아주 멋진 증명입니다....그런데 그 증명이 '정말로' 맞아 들어가는 이유는 뭘까요?' 뎅뎅뎅...이 무슨 소리람?

갈루아...더 깊이 사고하는 수학자? 정말로 불운했던 수학자, 그의 논문은 여러차례 분실되었고, 그는 혁명에서도 성공하지 못했으며, 사랑에서도 성공하지 못하고, 결국은 결투에서... 목숨을 잃고 만다.

갈루아는 수학에 새로운 관점을 도입했다. 갈루아의 손에서 수학은 숫자와 도형들의 학문이기를 중단했다. 수학은 구조에 관한 학문이 되었다. 개체에 관한 학문이 과정에 과한 학문이 되었다. 이러한 전환은 라그랑주, 코시, 루피니, 아벨에 의해 시작된 흐름이었다.

거의 유실될 뻔한 그의가치는 1843년 리우빌에 의해 그 가치를 인정받고 관심을 환기받게 되었다.

갈루아의 방식에 대한 이해가 깊어지면서 새롭고 강력한 수학적 개념이 생겨났는데, 이것이 군에 대한 개념이다. 수학의 한 분야를 통채로 아우르는 군론으로 불리는 대칭 계산법이 생겨났고, 그이후로 그것은 수학의 모든 분야에 침투하였다.

조르당의 표현론, 아서케일리의 선형변환행렬???

 

8장 평범한 기술자이자 탁월한 교수

1814년 피엘 로랑 완첼

각의 삼등분 작도와 입방배적 문제가 작도 불가능함을 보인 완첼의 증명속에는 더 추상적인 관점에서 비롯된 심오한 구조가 숨겨져 있다. 고대의 두 문제에 대한 완첼의 해법은 모두 대칭과 관련된 논의로 압축된다. 방정식의 갈루아 군은 유클리드식 작도에 적합하지 않은 구조를 지닌 기하에 대응된다.

대수적 수와 초월수

람베르트는 파이가 무리수임을 증명하였으며, 그의 증명 방식은 이후의 모든 연구를 가능하게 했다. 그는 적분개념을 필수적 요수로 사용했다. 리우빌은 초월수의 존재를 증명하였다.  샤를 에르미트는 e가 초월수임을 증명하였고, 린데만은 파이가 초월수라는 증명을 하였다. 힐베르트가 린데만의 제자라니...

린데만의 증명은 원적문제가 작도 불가능하다는 지엽적인 문제를 해결하는데 그 의미가 있는 것이 아니다. 중요한 문제는 그것이 어째서 불가능한지에 대해 수학자들이 알게되었다는 사실이다. 초월수는 대수식의 근이 될 수 없다는 것...

 

9장 공공 시설물에 낙서한 취객

아일랜드가 낳은 위대한 수학자 윌리엄 로언 해밀턴은 그가 최고의 업적으로 자평하고 죽기까지 그렇게 믿었던 4원수의 원리가 되는 식을 ...브룸다리의 돌에 새겨넣었다. i^2=j^2=k^2=ijk=-1

4원수의 발견으로 곱셈의 교환법칙과 함께 2차방정식이 두개의 해를 갖는다는 법칙이 깨어져 버렸다. 4원수체계안에서는 -1의제곱근이 무한히 많다.

실수체는 순서가 있으며 완비되어 있다는 두가지 특성을 갖는 유일한 체이다.

유리수도 순서체이기는 하나, 완비되어 있지는 않다.

복소수는 음수의 제곱근을 취하는 일이 가능해졌지만 순서를 잃어 버렸다. 복소수는 완비된 체계지만 단일한 순서에 의해 정렬되지 않고 평면 위에 넓게 퍼져 있다. 4원수체계에서는 곱셈의 교환법칙을 포기해야만 한다.

 

10장 군인 지망생과 병약한 책벌레

마리우스 소푸스 리

임의의 미분 방정식을 특정한 방식으로 풀 수 있는지 판단하는 기준이 있을까? 해답의 열쇠는 대칭에 있었다. 리는 가하에 관한 자신의 연구 결과 일부가 미분 방정식의 관점에서 재해석될 수 있음을 깨달았다. 특정 미분방정식의 해가 하나 주어질 경우, 그 해에 벼환을 적용하면 변환의 결과 역시 해가 됨을 증명할 수 있었다. 하나의 해로 부터 많은 해를 얻을 수 있었고, 이러한 해들은 모두 군으로 연결되어 있었다.

어렵당...

빌헬름 카를 요제프 킬링...병약한 책벌레

모든 가능한 리군에 대해 기술하고자 시도했었다. 그리고 리군이 리대수와 관련이 있으며, 리대수가 리군보다 다루기 쉽다는 점을 깨달아 가능한 모든 리대수를 분류하는 일을 ...결국 모든 리대수를 구성하는 기본적인 요소(단수리대수)를 기술하는 일에 만족해야했다.

킬링은 오늘날 G2로 알려진 리군에 대응하는 단순리대수를 발견..., 예외적 G2에게 다섯 친구가 생겼다. 56차원군둘과 78차원,133차원, 248차원의 군으로구성된 간단한 족하나...

킬링이 언급한 네가지 구조는 리대수인 su(n), so(2n), so(2n+1), sp(2n)

G2,F4,E6,E7,E8 로 알려진 다섯개의 예외적 단순리대수의 존재

4원수와 8원수로 연결되는 비밀통로...

카르탕이 킬링의 연구가 지니는 진정한 가치를 세상에 알린다.

 

아아아아...힘들다...이제 고만...물리학으로의 진입되는 부분은 더 어렵다...ㅋㅋ