<E = mc^2 - 아인쉬타인, 외로운 천재 그리고 인류 역사상 가장 위대한 공식에 대한 숨겨진 이야기>

데이비드 보더니스 지음/ 김민희 옮김/ 생각의 나무

 

수학자들과 물리학자들은 자연을 명쾌하게 묘사하는 단순한 방정식을 아름답다고 합니다. 수학자들이 뽑은 가장 아름다운 방정식은 오일러의 등식으로 알려져 있습니다.

 

이 단순한 공식안에는 오묘한 수학개념들이 올망졸망 모여있습니다. 자연상수 e, 원주율 π, 허수 i 를 포함하고 있죠. e = 2.71828... 인 무한 소수입니다. 원주율 π는 잘 알다시피 3.14... 로 계속되는 무한 소수이죠. 허수 i는 제곱해서 -1이 되는 수입니다. 그런데 e를 πⅰ번 곱한다는 것이 무슨 의미일까요? 또한 어떻게 해서 e를

πⅰ번 곱하면 -1이 될까요? 수의 세계는 참 신비롭기도 합니다. 전혀 관련이 없을 것 같은 이러한 요소들이 어울러져 이런 단순한 관계를 형성한다는 것이 믿어지십니까? 이 신비스런 수식의 아름다움은 분명히 수학자들의 놀라움에 비롯된 것은 아닐까요?

 

물리학에서 이에 비견될 만한 아름다운 방정식이 있습니다.

 

이 이퀄 엠씨스퀘어! E = mc^2  참 단순한 방정식입니다. 모든 수학 공식이 이와 같이 단순 명쾌하다면 얼마나 좋을까요? 아인쉬타인의 방정식은 단순하지만 강력한 의미가 숨어 있습니다. 이 책에서는 방정식의 구성요소인 E(에너지), m(질량), c(빛의 속도)와 관련된 흥미진진한 과학 이야기들과 이 방정식이 과학의 발전과 어떤 관련을 맺고 있는 지 보여줍니다.

 

기본적으로 E= mc^2는 에너지와 질량이 서로  변환가능하다는 의미를 내포하고 있습니다만, 여기에서 궁금한 것이 몇가지 있는데, 왜 c 즉 광속이 에너지와 질량의 관계식에 등장하는가 하는 점입니다. 또한 어떻게 해서 다른 어떤 상수도 아닌 c의 제곱이 에너지와 질량의 변환 상수로 작용하고 있는가하는 의문이 듭니다. 

 

데이비드 보더니스의 <E = mc^2>에서는 이러한 흥미로운 의문점을 파헤쳐 내면서 다양한 과학자들의 삶을 조명합니다. 에너지 개념을 도입하여 에너지 보존의 법칙에 중추적인 역할을 한 마이클 패러데이. 질량보존의 법칙의 산파 앙투안 로랑 라부아지에. 그들은 파란만장한 삶이 펼쳐집니다.  

 

라부아지에는 프랑스대혁명의 단두대의 이슬로 사라지는 비참한 운명의 주인공입니다. 라부아지에가 스위스 태생의 의사이자 프랑스 대혁명 당시 급진파의 우두머리였던 장 폴 마라와 껄꺼로운 관계를 가지고 있었기때문일까요? 그럴지도 모릅니다. 마라는 나중에 정적에 의해 암살되는데, 이 장면은 유명한 화가들에 의해 그림으로 탄생하기도 하였습니다.

 

☞ 마라의 죽음 http://blog.naver.com/jaune10/60207689935

 

1800년대 중반, 과학자들은 에너지의 세계와 물질의 세계는 서로 다른 별개 세계라는 생각을 하고 있었습니다. 이 두 세계는 연결하는 다리나 통로는 전혀 없는, 아무런 관련이 없는 영역이었습니다. 그런데 아인쉬타인은 이 두 영역 사이를 연결하는 고리를 찾았던 것입니다. 그런데 놀랍게도 이러한 고리의 단서는 빛의 속도였습니다. 질량과 에너지와는 무관해 보이는 빛의 속도를 연구하는 과정에서 에너지와 질량을 연결하는 고리를 발견하였던 것입니다.

 

빛의 속도를 밝히려는 과학자들의 시도, 빛의 속성이 밝혀지게 된 경위는 흥미롭습니다. 더구나 빛의 속성을 연구하는 가운데 특수상대성이론이 도출되는 과정은 더 흥미진진합니다. 빛보다 빠르게 달릴 수 있는 것은 없다는 추론은 도대체 어떻게 나왔을까요? 빛의 속도가 속도의 상한이라는 추론에서 어떻게 E=mc^2 라는 방정식이 도출될 수 있었을까요? 정말 궁금한 질문이 아닐 수 없습니다.

 

한 가상 실험을 통해, 빛보다 빠른 것은 없다는 특수상대성이론을 기반으로, 에너지와 질량의 관계를 추론해내 볼까요? 성능이 뛰어난 우주선이 빛의 속도와 비슷하게 날고 있다고 가정해 봅니다. 일반적인 상황에서는 엔진에 연료를 가하면 속도가 증가할 것입니다. 하지만 우주선이 빛의 속도에 거의 근접한 경우라면 문제가 달라집니다. 특수상대성 이론에 의하면, 조종사가 아무리 엔진에 연료를 가하며 최선을 다해 우주선의 속도를 높이려 해도 우주선은 빛의 속도를 능가할 수 없습니다. 도대체 무슨 일이 벌어지고 있는 것일까요? 

 

우주선에 가한 에너지는 어디로 갔을까요? 에너지는 속도를 증가시키지 못하고 그냥 사라진 것처럼 보입니다. 이것은 에너지 보존 법칙에 위반되는 것은 아닙니까? 그렇지 않습니다. 에너지는 그냥 사라지는 것이 아닙니다. 초과 주입된 에너지는 속도를 증가시키는 데 사용되지 않고, '압축되어' 질량으로 변한다고 하면 어떨까요? 어이없는 말처럼 들릴지 모르지만, 이런 가정은 에너지 보존의 법칙과 특수상대성이론의 빛의 속도를 능가할 수 없다는 전제를 동시에 만족시킵니다. 아주 멋진 아이디어 아닙니까? 빛의 속도에 근접한 상황에서는 에너지가 속도를 늘리는 것이 아니라 질량으로 변한다는 결론은 이러한 가상실험을 통해 도출됩니다. E=mc^2 의 이론적 바탕은 바로 이러한 아이디어입니다. 

 

빛의 속도 c 가 에너지와 질량의 등가관계를 설명하는 방정식에 나타난 이유를 이렇게 이해하게 되었습니다. 그런데 왜 또 하필이면 'c의 제곱'이 에너지와 질량의 환산인자가 되었을까요?  이 이야기에는 라이프니쯔에서 시작하여 볼테르와 그의 연인인 여성과학자 샤틀레에서 끝나는 스토리가 있습니다. 과학사에서 결정적인 순간에 여성과학자들이 등장하는 것은 신비롭기도 합니다. 여성들은 과학계에서 오랫동안 이방인으로 냉대와 천시를 받아 왔음에도 결정적인 순간에 지대한 역할을 해 왔다는 점이 눈길을 끕니다. 

 

☞ 에밀리 샤틀레 http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%90%EB%B0%80%EB%A6%AC_%EB%92%A4_%EC%83%A4%ED%8B%80%EB%A0%88

 

1905년 아인쉬타인의 특수 상대성 이론이 발표된 이후 에너지-질량 방정식이 입증될 수 있는 영역인 원자의 세계에 대한 연구가 활발해집니다. 원자핵을 발견한 어니스트 러더포드, 중성자를 발견한 제임스 채드윅, 중성자를 정확히 원자핵에 충돌시키기 위해서는 중성자의 속도를 늦추어야 한다는 원리를 발견한 엔리코 페르미등 쟁쟁한 과학자들이 나타납니다.  

 

오스트리아 여성 과학자 리제 마이트너는 그녀의 조카 로버트 프리시와 함께 중성자가 우라늄 원자핵에 부딪혀 그것을 쪼갤 수 있으며, 그 과정에서 에너지가 발생한다는 점을 발견하게 됩니다. 핵분열의 발견의 중심에는 여성 과학자 리제 마이트너가 떡 하니 자리 잡고 있습니다.

 

☞ 리제 마이트너 http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1090894&cid=40942&categoryId=33476

 

이제 2차세계대전의 상황속에서 E = mc^2 은 무시무시한 폭탄을 제조하는 이론적 근거를 제공해 주었고, 독일에서는 베르너 하이젠베르크의 주도로 원자폭탄의 개발이 시작되었고, 미국에서도 우여곡절끝에 원자폭탄을 만들기 위한 맨하탄 프로젝트가 진행되었습니다. 

 

어느 쪽이 먼저 성공하느냐에 따라 전쟁의 향방이 바뀔 판이었습니다. 영국 정보부에서는 독일이 원폭개발에 필요한 중수를 조달하고 있었던 노르웨이의 베모르크 중수 생산 공장을 폭파하기 위한 공작을 벌입니다. 특수부대원 30명이 전멸당한 1차 작전의 실패를 딛고 2차작전을 강행하여 치명적인 손상을 입혀 독일의 원폭개발을 지연시킵니다.

 

미국에서는 로버트 오펜하이머가 맨해턴 프로젝트의 책임자로 일하면서 우수한 인재를 많이 끌어들였고, 권위를 거부하는 천재 리처드 파인만까지 자기 사람으로 끌어들여 연구에 박차를 가합니다. 결국은 원자폭탄 개발에서는 미국이 승리하게 됩니다. 독일이 항복하고 일본에는 원자폭탄이 투하됩니다.

 

 

그런데 정말 원자폭탄을 투하했어야만 했을까요? 일본에 원자폭탄을 투하한 것이 정당하다고 보는 견해가 일반적이지만 당시에는 그렇지 않았습니다. 일본군의 규모는 미국에게 전혀 위협적이 않았으며, 북쪽에서 나타난 러시안군도 일본을 위협하고 있었습니다. 그리고 일본의 산업은 힘을 다 써버려 지쳐 있는 상태였습니다. 1945년 초, 미국의 전략폭격기는 30~60개의 크고 작은 도시를 파괴하라는 임무가 주어졌는데, 그해 8월까지 58개 도시를 파괴했습니다. 태평양 전선을 책임지고 있던 더글러스 맥아더는 원자폭탄 투하가 필요하다고 생각하지 않았습니다. 연합 사령부의 의장이었던 애드미럴 레이히와 전략 폭격부태의 책임자였던 커티스 리메이도 그렇게 생각했습니다. 아이젠하워는 선배 국방장관 헨리 스팀슨에게 원자폭탄에 대해 설명하면서 원자폭탄 투하에 강력히 반대하였습니다. 

 

"나는 두가지 이유에서 그것을 반대한다고 말했다. 첫째, 일본은 이미 항복할 준비가 되어 있으므로 그 무시무시한 것으로 일본을 칠 명분이 없다는 것이다. 둘째, 나는 우리나라가 그 무기를 사용한 최초의 국가가 되는 것이 싫었다. 그 노인네는 무섭게 화를 내기 시작했다...." (215쪽)

 

그러나 결국 원자폭탄은 사용됩니다. 비극입니다.

 

E=mc^2 의 연구가 원자 내부의 힘으로 향하고 있을 때, 한편으로는 우주를 향하고 있었습니다. E=mc^2 이 우주로 향한 것은 세실리아 페인 덕분입니다. 

 

세실리아 페인 http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%B8%EC%8B%A4%EB%A6%AC%EC%95%84_%ED%8E%98%EC%9D%B8%EA%B0%80%ED%8F%AC%EC%8A%88%ED%82%A8

Cecilia Helena Payne Gaposchkin (1900-1979) (2).jpg

 

세실리아 페인이라는 영국 여성과학자가 등장하기 전까지 과학자들은 태양의 66%는 순수한 철로 이루어져 있다고 믿고 있었습니다. 그러나 이러한 결론은 태양의 연소와 그 막대한 에너지원에 대해 설명할 수 없었습니다. 세실리아 페인은 케임프리지 대학에서 러더퍼드의 강의를 들으며 여자라는 이유로 내내 수모를 당해야 했습니다. 페인은 여기에 굴하지 않고 대학원 진학위해 미국의 하버드에 입학한 뒤, 계속 연구를 진행합니다. 그녀는 태양광선 스펙트럼 연구에 몰두하여 당시 아무도 부인하지 못했던 기존의 학설을 뒤엎고 태양의 구성물질이 수소와 헬륨임을 밝혀냈습니다. 그녀의 연구는 태양의 연소에 E=mc^2을 적용할 수 있는 길을 열어놓았습니다. 수소가 결합하여 헬륨이 되는 과정에서 엄청난 에너지가 쏟아져 나오는 것입니다.

 

 

이후 프레드 호일은 별의 내부온도가 거의 1억도에 이르게 된다면 헬륨이 압축되어 탄소를 생성할 수 있을 것이며, 온도가 더욱 올라가면 산소, 실리콘, 황 그리고 나머지 원소들까지 만들어 질 수 있다는 점을 밝힙니다. 그리고 별속에서 형성된 이러한 물질들은 별이 폭발할 때 분출되어 지구의 탄생에 참여하게 되었다고 설명하였습니다. 

 

블랙홀은 어떠합니까? 블랙홀 개념도 E=mc^2에서 도출되었습니다. 1930년 브라만 계급의 인도 청년 찬드라세카르는 불과 19살에 영국으로 가던 중 블랙홀의 개념을 착안합니다. 하지만 당시 권위의식으로 경직되어 있던 영국 천체 물리학계는 그의 주장을 끝내 받아들이지 않았습니다. 아인쉬타인의 상대성이론을 관측으로 증명했던 에딩턴도 찬드라의 이야기를 "별들의 웃음 거리이며 터무니 없는 것'이라고 말했습니다. 찬드라세카르는 에딩턴에 대항하는 것을 피해 미국으로 가서 연구를 계속합니다. 그리고 1960년대에 망원경을 통해 블랙홀의 존재를 증명할 수 있는 관측결과가 나옴으로 찬드라세카르의 블랙홀 이론이 인정받게 됩니다. 찬드라세카르는 1983년 윌리엄 A. 파울리와 공동으로 노벨 물리학상을 수상하게 되었습니다. 

 

 

그렇다면 아인쉬타인의 E=mc^2 이 예견하는 우주의 미래는 어떠할까요? 최후의 질량이 에너지만을 남겨두고 사라져 버리는 미래...시간마저 종말을 고하는 미래... 하지만 그 때가 오기까지는 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000년(1뒤에 0이 100개 붙어 있습니다. 세지 않아도 됩니다.ㅋㅋ)이 지나야 한다고 합니다. 그리고 또...이 이론이 바뀌게 될 지 누가 압니까? 

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The Brain: A Beginner's Guide

아마르 알-찰라비, 마틴 R 터너, 셰인 델라먼트 지음/ 김상훈 옮김/성균관대학교 출판부

 

인체 기관중에서 가장 신비로운 부분...뇌!

수천억개의 신경세포로 이루어진 두뇌는 작은 우주라 불리기도 한다.

 

목차는 다음과 같다.

 

1부 뇌의 소개
서문: 시작하면서
01 인간 뇌의 역사: 그래도 뭔가 하기는 한다
02 뇌의 진화: 어떻게 뇌가 되었나
03 신경: 몸의 전기장치

2부 단세포에서 탄생된 뇌와 정신
04 뇌의 발달: 신경계의 성장
05 뇌의 해부: 원대한 계획의 이해
06 뇌의 지지 기관: 살아남기 위해 뇌에게 필요한 것
07 행동과 추론의 발달: 인간이 되는 걸 학습한다

3부 성인이 된 뇌의 사용
08 의식: 마지막 불가사의
09 기억: 과거를 투시하다
10 수면: 뇌의 취침시간
11 운동계: 움직임과 동작을 만들다
12 감각계: 세상을 느끼다
13 시공간계: 효율 향상
14 언어, 청각 그리고 음악: 소리의 이해
15 감정과 둘레계통: 심장과 머리
16 뇌의 연구: 진단의 발견
17 영원한 삶: 젊음의 샘
18 끝?

전반적인 뇌의 활동을 이해하는데는 도움이 되었다. 그리고 때로는 흥미로운 부분들을 발견하기도 했다.

 

전두엽, 마루엽, 측두엽, 후두엽, 대뇌피질, 시상, 소뇌 등등 다양한 뇌의 부분들이 각자의 역할을 수행한다.

 

그리고 뇌의 특정부분들에는 각각의 역할이 있다. 예를 들면 언어의 이해를 담당하는 부분과 언어를 표현하는 부분은 서로 다르다. 베르니케 영역이 손상된 사람은 다른 사람의 말을 이해하지 못한다. 하지만 말을 하는데 있어서는 정상적이다. 반면에 브로카 영역에 손상을 입은 사람은 다른 사람의 말을 이해하나 자신의 생각을 표현하는데 어려움을 겪는다. 

 

또한 시각을 담당하는 부분과 청각을 담당하는 부분도 달라서 시각은 후두엽에서 그리고 청각은 측두엽에서 그 신호를 수신한다. 또한 음악은 청각을 수용하는 부분과 또 다른 부위를 사용한다. 대뇌피질은 주로 이성, 지성과 관련이 있지만 뇌의 중심부와 그 중심부를 감싸고 있는 둘레계통은 감정과 관련이 있다.

 

뇌에는 가소성이라는 특징이 있어서, 어떤 부분이 손상되었을 때 다른 부분이 그 역할을 보충하거나 대신하는 경우도 있다. 아주 어린 아이의 경우에는 뇌의 가소성이 두드러지지만, 나이가 들면서 그 가소성의 범위가 좁아지거나 비가소적이 되기도 한다.

 

뇌는 수천억개의 신경세포로 이루어져 있는데, 이 신경세포는 재생되지 않는다. 나이가 70세 정도에 이르면 원래 신경세포의 92%정도가 남는다고 한다. 인간이 영원한 삶을 얻으려면 신경세포의 재생을 연구해야만 할 것이다.

 

이 책을 통해 뇌에 대한 전반적인 이해를 얻게 되었다. 내가 관심을 가진 부분은 의식, 자유의지이다. 이 부분은 물리학과 맞닿아 있는 부분이기도 하다. 과연 우리에게는 자유의지란 있는가? 이 문제에 대해 더 알아보고 싶다.

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The Double Helix - 생명에 대한 호기심으로 DNA 구조를 발견한 이야기

제임스 왓슨 지음/ 최돈찬 옮김/ 궁리

 

"우리는 여기에 디옥시리보핵산(DNA) 염의 구조를 제창하고자 한다. 이 구조는 생물학적으로 대단한 관심을 불러일으킬 새로운 특징을 지니고 있다"

 

왓슨과 크릭이 1953년에 <네이처>에 발표한 DNA 구조를 밝히는 논문의 첫 문장이다.

제임스 왓슨, 프랜시스 크릭, 모리스 윌킨스는 DNA 구조를 발견한 공로로 1962년 노벨 생리의학상을 수상한다.

 

연구원으로 영국에 온 왓슨이나 아직 박사과정에 있는 크릭은 전문가들이 보기에는 '촌뜨기'에 불과했다. 그들이 DNA 구조를 밝히기 전까지는 이렇다 할 의미있는 연구 성과를 내 놓지도 못하고 있었다. 그런 그들이 당대의 그 분야의 일인자인 미국의 라이너스 폴링과 경쟁에서 한 발 앞서 아름다운 이중나선구조를 발견하게 된 것이다. 이 경쟁에 함께 한 이들은 로잘린드 프랭클린, 모리스 윌킨스, 프랜시스 크릭, 제임스 왓슨, 라이너스 폴링 이었다.

 

최종 승리는 왓슨과 크릭이었지만 그들은 이른바 '거인의 어깨위에 서서' 그들의 업적을 이루어내었다. 이미 라이너스 폴링은 DNA가 나선 구조를 가지고 있음을 발표했다. 샤프란의 논문은 아데닌과 티민, 구아닌과 시토신이 거의 같은 양으로 DNA 내부에 존재함을 보여주었다. 또한 리지는 인산기가 DNA분자의 바깥쪽에 위치해야 한다는 것을 알았다. 이미 밝혀진 연구 결과를 토대로 왓슨은 모든 관련 문제들을 해결할 수 있는 아이디어로 DNA 구조의 신비를 밝혀낸다. 먼저 DNA는 이중나선구조를 가지고 있다는 가설, 그리고 인산기가 DNA중심이 아니라 DNA분자의 바깥쪽에 위치한다는 것을 수용한 점, 결정적으로 염기들이 아데니과 티민, 그리고 구아닌과 시토신이 쌍으로 결합한다는 착상등은 DNA의 아름다운 조형미를 밝혀내는 핵심적인 요소들이었다.  

 

왓슨과 크릭의 연구는 남다른 데가 있다. 그들의 탐구방식은 전통적인 실험적인 연구방식과는 사뭇 다르다. 그들은 다른 과학자 및 동료들의 연구결과를 어떻게 해석해야 하는지에 관심을 가진다. 또한 이러한 결과나 해석들이 DNA 구조에 어떤 빛을 던져 주는지에 예리한 정신을 쏟으면서, 그에 맞는 다양한 모형을 직접 만들어 보고 그 타당성을 검증해 보는 방식은 내가 알고 있던 연구방식과는 상당한 괴리가 있다. 종이로 만든 여러 조각의 염기를 이리 저리 맞추어 보는 것, 아이들이 가지고 놀 법한 이른바 레고와 같은 모형을 가지고 DNA를 실제로 조립해 보는 등의 방법은 사실 맨 땅에 헤딩하기라는 말이 생각날 정도이다. 함정에 빠진 개미가 이렇게도 가보고 저렇게도 가보고 할 수 있는 모든 가능성을 다 추구하면서 탈출을 시도하는 것과 같은 어떻게 보면 무모한 시도들이 반복한다.

 

무엇이 왓슨의 업적을 가능하게 했을까? 그의 나이 25세밖에 되지 않았으며, 그의 글에 나타나 있는 유치함과 치기, 또는 다소 가벼운 듯한 개성에도 불구하고 그의 눈과 마음은 DNA의 중요성을 깊이 인식한다. DNA가 유전학에서 획기적인 중요성을 가지고 있음을 간파한 그의 통찰력이 그 업적을 이룬 기초중 가장 큰 부분이리라. 그리고 그는 그가 잡은 DNA의 끈을 끝까지 놓지 않았다는 것이다. DNA구조를 파악하기 위한 연구에 기초적으로 필요한 지식이 아주 많이 부족했지만, 관심의 끈과 열정의 에너지를 계속 쏟아 부었다는 것이다. 모르는 것이 있으면 물어보고, 그와 관련된 논문들을 읽고, 동료들과 대화를 나누는 이 모든 과정이 그의 연구 과정인 것이다. 역사적인 연구 결과를 내놓아 명성을 얻고자 했던 마음이건, 아니면 자연의 신비를 탐구해 내려는 순수한 동기이건 간에 그의 두뇌는 포기하지 않았다. 그러한 끈기와 집념이 그의 위대한 발견의 밑거름이 되었음에 틀림없다.  

 

부딪히고 깨지고 좌절하고 실망하면서도 다시 앞으로 나아갈 길을 찾아 가는 싸움이 연구의 본질이련가. 우리 아이들이 수학을 어떻게 공부해야 할 것인지에 대한 생각이 왓슨의 연구와 오버랩된다.  

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뷜렌트 아탈레이 지음/ 채은진 옮김/ 도서출판 말글빛냄

 

르네상스의 두 쌍두마차는 레오나르도 다빈치와 미켈란젤로이다.

이 중 레오나르도 다빈치는 예술가로만이 아니라 과학자로서 천재성을 보인다. 이 책에서는 레오나르도의 수학적, 자연과학적 면모를 부각시킨다. 레오나르도는 많은 예술가들이 그렇듯이 직관에 의해서가 아니라 수학적, 기하학적, 자연과학적 지식에 근거하여 황금직사각형구도나 수학적 기하학적 구도를 사용하여 그림을 완성시킨다. 최후의 만찬에 나타난 일점투시도, 암굴의 성모 마리아에 나타난 정사각면체 구도, 모나리자를 비롯한 세점의 초상화에 나타난 황금사각형 구도등이 그러하다. 그리고 그의 그림에는 지질학, 심리학, 해부학적 지식들이 드러나 있음이 관찰뢴다.

 

많이 소실되었지만 그나마 전해지고 있는 그의 노트에는 그의 다방면의 관심사가 잘 드러나 있다. 다양한 공학기계의 설계도 및 해부학적 스케치, 그리고 자연과학에 대한 그의 관심이 발견된다. 필자는 레오나르도를 근대과학의 출발점에 서 있는 과학자로 설명한다. 갈릴레이 진자운동, 그리고 낙하운동에 대한 실험등이 이미 레오나르도에 의해 먼저 설명되어 있다는 것이다. 그리고 그는 자연을 바라보는 과학적 방법을 제시한 것으로 묘사한다. 그의 유산은 갈릴레이, 티코, 케플러, 뉴턴, 아인쉬타인에 이르는 근대과학에 큰 영향을 미칙 있다는 것이다.

 

이 책은 예술가 레오나르도 다빈치에 대한 책이라기 보다는 자연과학자 레오나르도 다빈치에 대한 책이다. 실제 그가 완성한 그림은 몇 점되지 않는다고 한다. 그의 관심사는 예술에만 아니라 너무나 다양한 분야에 까지 이르고 있기때문이리라. 천재, 일반적인 천재의 범주를 뛰어 넘는 천재 레오나르도의 면로를 알고 싶다면 이 책을 읽어 보시라.  

소수의 음악의 저자 마커스 드 사토이 지음/ 안기연 옮김/ 승산

 

도서관이 불타는 와중에서 단 한 권만 가지고 나올 수 있다면 당신은 어떤 책을 가지고 나오겠는가?

하버드의 유명한 수론학자는 [유한군의 아틀라스]를 가지고 나오겠다고 말했다.

도대체 [유한군의 아틀라스]가 무엇이길래 그런 것일까?

멘델레예프의 주기율표는 누구나 안다. 지구상에 존재하는 것으로 알려진 모든 원소들을 그 특성에 따라 일정한 규칙에 의해 수록한 도표가 그것이다. [유한군의 아틀라스]는 존재하는 모든 군의 주기율표이다. 대칭을 구성하는 단순군들을 분류한 일종의 지도책이다.

 

1900년이 시작될 무렵 단순군들의 목록에는

1) 변이 소수개인 다각형의 회전군

2) n장의 카드에 대하여 짝수번 섞기들로 정의되는 n차 교대군

3) 소푸스 리와 수학자들이 발전시킨 기하학적 풍미를 갖춘 리 단순군 (1950년대까지 리군들은 13개의 족을 이루고 있었다.)

4) 프랑스의 수학자 에밀 마티외의 5개의 돌발군

이 있었다.

 

에밀 마티외가 발견한 예외군이라고도 하고 돌발군이라고도 하는 기묘한 성질을 지닌 군들은 리군에 속하지 않는 주기율표상의 이단아였다. 수학자들은 목록에 있는 단순군들외에 또 다른 불가분군들을 찾아내기 시작하였다. 1970년대 점점 더 많은 돌발 대칭군이 끊임없이 생겨나자 수학자들은 그 끝이 과연 어디일지, 혹은 끝이 존재하기는 하는지 궁금해 하기 시작한다. 이러한 상황에서 두 팀이 이 작업에 활기를 불어넣었다. 콘웨이를 중심으로 전개된 모든 대칭들을 정리하는 아틀라스 프로젝트와  모든 돌발군을 찾고 그 한계를 파악하려는 고렌쉬타인 프로그램이 그것이었다. 결국 26개의 돌발군이 체계화되었다. 그 마지막 돌발군은 196,833차원의 공간에 존재하는 몬스터라고 불리는 군이다. 이 몬스터군을 찾아가는 과정에서 대칭과 수론사이의 신비한 연관관계를 보여주는 상황이 발생하였다. 1+196,833 =196,834

 

문샤인! 몬스터와 모듈러 함수 모두에 빛을 던져주는 그것. 리처드 보처즈가 매료된 '꼭짓점 연산자 대수'라고 불리는 새롭고 신비로운 대수구조는 상대성이론과 양자물리학을 통합하리라 기대되는 끈이론의 가장 심오한 개념들 중 일부를 설명한다. 물리학자들은 문샤인 거울의 한쪽에 위치한 모듈러함수를 비롯하여 다수의 기묘한 수론들이 끈이론에 내재되어 있음을 발견했다. 보처즈는 이러한 대수 구조들이 몬스터 대칭과도 긴밀하게 얽혔음을 알아냈다. 이러한 사실이 알려지자 사람들은 '우주의 대칭군'인 신비한 몬스터에 관하여 이야기 하기 시작하였다.

 

무어인들이 건축한 알함브라 궁전벽에 있는 17유형의 다양한 대칭무늬로 부터 시작된 대칭에 대한 이야기는 2,3차 방정식의 해법을 알기위한 수학자들의 이야기로 진행된다. 그리고 5차방정식의 해를 구할 수 있는 공식이 존재하지 않음을 밝히는 아벨, 루피니의 연구에 대한 이야기로 이어진다. 더 나아가 왜 5차방정식의 해를 알려주는 공식이 존재할 수 없는지 그 이유를 제시하는 갈루아의 군론에 대해 이야기하면서 그 진행은 현대에 까지 이어지는 돌발군들의 발견과 그 대미를 장식하는 몬스터군에 까지 선이 닿는다. 거기에 숨어 있는 문샤인까지... 

 

수학자들은 자폐적 증상을 가진 정신병을 가진 존재들일까? 수학자들은 과연 행복할까? 그 무엇이 수학자들을 그 고된 작업으로 밀어넣는 것일까?

 

비행기안에서 만난 일본으로 가는 선교사와 마커스 드 사토이와의 대화는 그의 종교에 대한 편견을 드러냄과 동시에 그의 수학자임에 대한 기분나쁜 우월감을 드러낸다. 그리고 대칭으로 발전하는 진화에 대한 그의 개념은 모호하다. 이러한 점들은 이 책에 있는 옥에티라고나 할까? 아니면 나 자신의 편견일 뿐일까?

생명과 우주에 대한 과학과 종교 논쟁, 최근 50년

빅뱅에서 지적 설계론까지  /  래리 위덤 지음/ 박희주 옮김  / 혜문서관

 

서문

다시 생각하는 과학

  1장  승리자 다윈

  2장  피고석에 앉은 과학

 

신의 설계

  3장  우주의 중심

  4장  빛을 찾아서

  5장  과학과 종교의 대화

  6장  생명의 기원

  7장  지적 설계 운동

  8장  By Design (설계에 의해)

 

인간의 본질

  9장  신과 과학을 둘러싼 언어의 전쟁

  10장 생명의 계통수

  11장 마음과 뇌

  12장  신앙의 도약

 

다윈의 진화론이 과학계 전반에 뿌리를 내리고 있다. 신을 믿는다는 것을 공개적으로 인정하는것은 과학계에서 매우 난감한 문제이다. 특히 온전히 과학계에 뿌리를 내리지 못한 젊은 과학도나 소장학자들의 상황에서는 그러한 공개적 선언은 불이익을 의미할 수도 있기때문이다. 하지만 이런 변할 수 없는 것과 같은 상황에 조금씩 균열이 생기고 있다. 이전에는 제기되지 않았던 진화론과 관련된 새로운 의문들이 등장하게 되고, 이에 대한 대답을 찾는 과정에서 무신론적인 진화론과 대척점에 서 있는 지적설계라는 개념이 등장하게 된다. 오랫동안 진화론은 토마스 쿤이 말한 바 있는 정상과학의 지위를 누려왔다. 하지만 자체의 모순과 한계로 인해 무수한 공격을 받고 있으며, 또 다른 패러다임인 지적설계론이 출현하게 되었다고 저자는 말한다. 과연 이 지적설계론이 정상과학의 입지를 확보하게 될 것인가? 최근 50년간의 이 문제에 대한 논쟁을 소개하면서, 저자는 지적설계론에 무게중심을 두면서 이야기를 전개해 나간다.

 

이러한 새로운 흐름을 소개하기 위해, 과학과 신앙 사이에 진행되어 온 일들을 사건, 사상, 인물, 연구소, 논쟁등을 중심으로 그려나간다. 현대과학의 다양한 영역에서 등장하는 우주의 기원, 지구에서의 생명의 기원, 인간 지성의 근원과 같은 근본적인 문제들을 다룬다. 그리고 마지막으로 한 세기전의 미국의 심리학자 윌리엄 제임스의 '종교적 경험의 다양성'이라는 저서에 주의를 돌리며 책을 마무리 짓는다.

 

<제임스는 피곤에 찌든 회의론이 제공하는 심리적 안정과 비교해 볼 때 희망과 모험을 향한 신앙의 도약이 최상의 선택이라고 믿었다.>

<제임스는 '회의와 낙관의 꼭지점에 선 철학자'라고 불리기도 했다.>

<대부분의 유신론자들은...신적 설계에 대해 네 종류의 증거를 제시한다. 자연법칙의 단순성, 수학과 물리적 질서가 가진 아름다움, 사물에 내재된 질서에 대한 이해가능성, 그리고 이 모든 것을 인간이 이해할 수 있다는 점이다>   

 

무조건적인 진화론의 수용, 아마 이것은 종교에 대한 또는 신에 대한 반항에서 생기는 것인지도 모른다. 신은 없다고 믿고 싶은 사람들은 필연적으로 진화론으로 향하는 경향이 있는 것 같다. 하지만 진화론을 신봉하는 사람들은 그 반대 증거나 논리에도 귀를 기울일 열린 마음을 가지고 있는가? 라는 큰 외침소리가 이 책 안에서 터져 나온다.  

괴델,에셔,바흐- 영원한 황금 노끈

 

제11장 두뇌와 사고

 

인공지능 연구는 인간의 사고과정에 대한 연구를 촉발시켰다. 10장에서는 인간의 두뇌와 사고의 과정을 유추해 보기로 한다.

 

형식체계에서 활자형 기호는 수와 연산 및 관계들로 사상되고, 활자형 기호의 연쇄체는 명제로 사상되는 동형관계가 성립하며, 이러한 동형관계로 부터 의미가 나타나게 된다. 하지만 기호들과 현실 사이의 동형관계가 꼭두각시 인형과 그것을 조종하는 손 사이에 달려 있는 끈과 같이, 경직된 곧이 곧대로의 복제라고 생각해서는 안된다.

 

인간 사고의 덩어리적 구조

인간 사고의 특징은 내포적이다. 그것은 묘사들이 기존의 특정한 대상에 근거하지 않아도 "자유롭게 떠다닐 수 있다"는 의미이다. 사고의 내포성은 사고의 유연성과 관계있다. 그 유연성 덕분에 우리는 가상세계를 상상하거나 다양한 묘사들을 융합하고 하나의 묘사를 여러 부분으로 분할할 수 있다. 사고에서는 바로 이 세계에 대한 유연하고도 내포적인 표상이 가장 중요하다. 이러한 체계를 유지해 나갈 수 있는 두뇌의 생리적 체계는 바로 두뇌안의 "개미들" 즉 1000억개에 달하는 뉴런이라 불리는 신경세포와 관련이 있다. 하나의 뉴런에로의 입력의 복잡성- 심지어 한번에 20만개의 입력이 이루어지기도 한다 - 에도 불구하고 하나의 뉴런은 아주 원초적인 방식-발포 또는 비발포-으로 반응한다. 이제 이런 원초적 구조위에 더 높은 구조가 있을 것이다. 즉 개념들을 가공할 수 있는 더 높은 층위의 구조가 존재하리란 것이 명백하다. 그러한 구조는 분명히 더 많은 수의 뉴런들로 구성된 더 큰 구조를 지니고 있을 것이다. 

 

개별 두뇌들 사이의 동형관계가 존재할까?

뇌는 해부학적으로 대뇌, 소뇌, 시상하부 등의 영역으로 구분될 수있다. 대뇌는 좌뇌,우뇌로 구분되며, 두뇌의 외피부분은 대뇌피질의 층으로 덮여있다. 이 대뇌피질의 양은 인간의 두뇌를 다른 동물의 두뇌와 구분시켜주는 특징이다.

 

사고가 두뇌에서 수행된다면... 그렇다면 두 개의 뇌는 어떻게 구별되는가? 나의 두뇌는 여러분의 두뇌와 어떻게 다른가? 우리는 두뇌 속에 위에 언급한 동일한 해부학적 분할 영역을 가진다. 두뇌들의 이러한 동일성은 어디까지일까? 신경의 층위까지? 

 

이점과 관련하여 지렁이의 뇌에 대한 언급이 흥미롭다. '한 특정한 지렁이의 특정한 개별적인 세포를 규명한다면 동일한 종의 다른 지렁이의 상응하는 동일한 세포를 확인할 수 있다' 결론은 지렁이들이 동형태의 두뇌를 가진다는 것이다. 따라서 "오직 하나의 지렁이만 존재한다"라고 말할 수 있다. 그러한 사고의 위계질서가 높아지고 뉴런의 수가 증가할 수록 개체의 두뇌들이 그런 식으로 1:1로 사상될 수 있는 가능성은 급속히 줄어든다.

 

기억과 두뇌 사이의 연관관계가 존재하는가?

정신적인 경험들이 두뇌에 할당될 수 있다면, 지식이나 정신적인 삶의 다른 측면들이 두뇌 속의 특정한 장소나 물리적인 하위체계로 환원될 수 있을까?

신경학자 칼 레슐리는 미로속의 쥐 실험을 통해 어느 부분에 기억이 저장되는지를 밝히려 했다.  하지만 그는 대뇌피질의 어느 부분에서도 기억을 저장하는 특정한 부분을 찾지 못했다. 그래서 그는 "기억흔적을 찾아서"라는 논문에서 기억이란 전혀 가능하지 않다는 우울한 결론을 내렸다. 이 실험은 다음과 같은 사실을 보여주는 듯 하다. 즉 대뇌피질의 어느 곳이나 동일한 기억저장 잠재력을 가지고 있는 것으로 보였다.   

 

반면에 1940년대 말 캐나다 신경외과 의사인 와일더 펜필드는 전극을 통해 두뇌에 약한 전류를 흘러 보내는 수술을 하면서 '일정한 뉴런들의 자극이 환자의 특정한 심상이나 감각을 창출했다'는 것을 밝혀냈다. 그런 특정한 사건들을 촉발 시킬 수 있는 장소들의 수효는 극도로 적었으며 근본적으로는 단 하나의 뉴런에 집중되어 있었다. 이 발견은 아마도 국지적인 영역들이 특정한 기억을 담당한다는 사실을 함축하고 있다.

 

이 두 사이의 결론은? 기억이 국소적으로 더욱이 대뇌피질의 더욱 더 많은 장소에 분산된다는 것이다. 또 다른 설명은 기억이란 두뇌 전체에 분포된 동적인 과정들로부터 재구성될 수 있지만, 그 격발은 개별적인 국소적인 지점들로부터만 가능하다는 것이다.

 

두뇌 처리과정의 위치 할당에 대한 가장 흥미있고 중요한 업적중 몇 가지는 하버드 대학의 데이비드 허블과 토르스텐 위즐에 의해 이루어졌다. 그들은 고양이 두뇌에 있는 시지각 경로를 사상해 내었다. 이 연구에 의하면 잘 정의된 신경경로들이 전적으로 존재한다는 사실이다. 시각신호들은 최종적으로 시각피질로 진행하게 되는데, 아직 해결되지 않는 문제는 ...시각피질은 거시적인 척도의 하드웨어 조각이지만 전적으로 소프트웨어-즉 시각 정보의 처리-를 위해서 동원된다. 대상들의 [인식]에 관한한 시각피질에는 어떤 것도 자리잡고 있지 않다는 것이다. 이것은 시각피질에 있는 복잡세포와 초복잡세포들의 출력이 어디에서 어떤 방식으로 형태, 공간, 그림, 얼굴 등의 의식된 인식으로 변환되는지 아무도 모른다는 뜻이다. 이러한 점들은 의식의 존재 장소가 두뇌의 개략적인 해부학적 영역 분할에서 보다 차라리 미시적 분석에서 찾아지리라는 생각을 갖게 한다. 아마도 특정한 대상만을 인식하는 고유의 신경망이 존재하는 것 같다. 그리고 이 망에 집중될 "누두작용(깔대기작용)의 과정"이 있을 것이라 추측된다. 바로 그러한 신경망이 우리 두뇌 속에 있는 "기호들" 즉 신호를 수신하여 의미로의 변환인 것이다.

 

이제 우리는 모든 개념에 대하여, 격발될 수 있는 매우 잘 정의된 모듈- 아주 적은 무리의 뉴런들로 구성된 모듈로서의 "신경복합체"-이 존재한다는 결론에 도달한다. 그러나 두뇌안의 어디엔가 그런 모듈이 자리매김할 수 있다는 생각은 잘 증명되지 못한다. 아마도 모든 모듈의 많은 복제가 두뇌안에 산재해 있을 수도 있고, 아미면 모듈들이 물리적으로 중첩되어 있는 지도 모른다.

 

부류와 사례

두뇌안의 기호(신경복합체)들은 부류를 표상하는가 아니면 사례들을 표상하는가? 부류만을 표상하는 일정한 기호들이 있는가 또는 사례들만을 표상하는 기호들이 있는가? 아니면 개별적인 기호는 자기의 어느 부분이 활성화도었는가에 따라서 제각기 부류기호 또는 사례기호로서 쓰일 수 있는가? 또 한가지의 곤란한 질문은 복수라는 개념이다. 예를 들어 개 세마리를 어떻게 상상할까? "개"에 대한 부류기호부터 시작해서 그로 부터 세개의 복제"를 얻어낼 수 있는가? 아니면 그것은 개라는 부류기호를 판형으로 이용하는 가운데, 세 개의 새로운 사례기호를 만드는가? 아니면 우리는 셋과 개라는 기호를 결합하여 활성화하는가?

 

아마도 두뇌 속에서는 부류와 사례 사이의 차이를 창출하고 그렇게 해서 다양한 등급의 구체성을 가지는 기호들 및 기호의 조직을 허용하는 방법론의 위계질서가 있을 것이다.

 

두뇌에 존재하는 거대하고 꾸준히 증가하는 기호들을 보면서 우리는 결국 두뇌가 포화상태 즉 더 이상 새로운 기호를 위한 공간이 없는 지점에까지 오지 않았나 하는 생각을 해 볼 수 있다. 기호들이 중첩되지 않는 상황에서는 이러한 상태가 비교적 빨리 도달할 수 있다. 하지만 사실 기호들은 중첩되고 완전히 뒤엉켜 있기때문에 모든 뉴런들은 유일한 기호의 구성성분이 아니라, 아마도 수백 개의 기호의 기능적인 일부분일 것이다. 그렇다면 기호들은 결코 공간상으로 자리매김될 수 없다. 모든 기호는 전체 두뇌와 동일시된다. 이렇듯 기호들은 서로 여러 겹으로 얽혀 있으며, 서로 그물을 짜는 것이다.

 

부류기호와 가상세계

우리는 부류들로 부터 사례들을 "추출하는"능력 덕분에 다양한 가상상황을 표상할 수 있으며, 현실세계에 충실하게 머물러야 할 필연성으로 부터 자신을 해방시켰다. 기호가 다른 기호들을 위한 판형으로 이용될 수 있다는 사실은, 우리에게 현실에 대한 정신의 일정한 독립성을 부여할 것이다. 이제 우리는 우리가 부여하고 싶은 만큼 많은 개별 사항들을 가지고서 비현실적인 사건이 일어 날 수 있는 인공 우주를 창출할 수 있다. 그러나 이 모든 풍요로움을 만드는 부류기호 자체는 현실에 깊이 뿌리박고 있다.

 

절차적 지식과 정언적 지식

어떤 지식이 있을 때 그것을 프로그래머뿐만 아니라 프로그램도 "판독할" 수 있게 만든, 예를 들면 사전이나 연감에 실린 것처럼 저장되어 있는 지식을 정언적이라고 한다. 이것은 국소적으로 코드화되어서 분산되어 있지 않다는 것을 의미한다. 이에 반해서 절차적 지식은 사건이 아니라 프로그램으로서만 코드화되었다는 것을 뜻한다. 절차적 지식은 통상 조각으로 분산되어 있어, 그것을 호출하거나 고정시킬 수 없다. 이로부터 바로 그 프로그램이 작동하는 방식은 어떤 국소적인 세부사항을 가지지 않는다는 결론이 나온다. 다른 말로 하자면, 순수한 절차적 지식이란 부수현상이다. 그렇다면 두뇌의 사고작용, 의식등은 두뇌의 어떤 부분에도 그 존재장소를 가지지 않는 절차적 성질을 지닌 부수현상이란 말인가?

 

 

괴델,에셔,바흐- 영원한 황금 노끈

 

제10장  기술층위와 컴퓨터 체계

 

여러개의 층위

텔레비젼 화면에 펼쳐지는 것은 극단적으로 대립하는 두 개의 표상을 가진다. 하나는 화면 위에 켜졌다 꺼졌다하는 점들의 집합이고, 또 다른 하나는 화면위에 나타나는 여자의 모습등과 같은 것이다. 이 두가지 대립되는 두가지 층위에도 불구하고 우리는 간단히 다른 하나를 배제하거나 관심을 다른 데로 돌림으로 그 두사이에 혼란을 겪지 않는다.

 

인공지능 연구의 가장 중요한 문제들 중의 하나는 이것이다. 즉 여러개의 층위가 있을 때 그 중에서 하나의 기술층위만을 받아들일 수 있는 체계를 어떻게 구축할 것인가이며, 다른 층위를 어떻게 만드는가를 규명하는 것이다. 그 대답은 "덩어리"만들기(응축)의 개념이다.

 

함축적 가지치기

덩어리 만들기 개념은 다음에 나타나는 함축적 가지치기와 유사하다. 체스의 고수들은 초보자와 다른  층위에서 생각한다. 고수들은 여러가지 다양한 행마가운데 나쁜 행마는 아예 보지 않는다. 모든 행마를 다 검토한 후 나쁜 행마를 구별해내는 것을 구체적 가지치기라 하는 반면에, 고수들은 직관적으로 나쁜 행마는 처음부터 고려하지 않는 함축적 가지치기의 방식으로 체스의 행마를 한다고 한다. 천부적인 수학자도 보통 사람들이 하듯이 모든 종류의 오류경로를 다 점검하지는 않는다. 오히려 가장 유력한 경로의 "냄새를 맡고는" 곧 바로 결정한다.

 

덩어리 만들기(응축)

하나의 체계에는 많은 기술층위들이 존재하는데, 낮은 층위와 높은 층위의 차이는 무엇인가? 그것이 바로 응축이다. 낮은 층위에서는 서로 무관한 것으로 보이는 일련의 사물들이 높은 층위에서는 그것들이 응축된 형태인 덩어리로 집약되어 나타난다. 낮은 층위에서의 개개의 점들은 서로 무관해 보이지만 높은 층위에서 관찰할 때는 그 점들이 모여서 하나의 덩어리 또는 형태로 인식된다는 것이다.

 

컴퓨터의 프로그램의 층위

컴퓨터 프로그램의 기술 위계에 있어서 가장 낮은 층위는 기계언어이다. 그 보다 높은 층위는 어셈블리 언어이다. 이 두 사이에는 1:1 대응관계가 존재한다. 하지만 컴파일러 언어는 응축의 개념을 이용한 언어로서, 어셈블리 언어보다 한 단계 높은 층위의 언어이다.  컴파일러 언어의 명령어 하나는 기계언어 층위에서의 하나 또는 그 이상의 처리과정을 하나의 덩어리로 응축시켜 호출하는 능력을 가지도록 설계되었다.

 

그 외에 기계언어보다 낮은 층위의 마이크로 프로그래밍이 있으며, 운영체계의 층위도 존재한다. 이러한 복잡한 컴퓨터 시스템의 여러 층위들은 총체적으로 사용자를 "편안하게"해 주고, 사용자와는 무관한 심층적인 층위들에서의 많은 과정을 고민하지 않게 해 주는 효과를 가진다.

 

오늘날 인공지능 연구의 주요 영역중의 하나는, 훨씬 높은 층위의 언어의 개발을 연구하는 자동 프로그래밍이다. 보기들로부터 일반화하기, 문법적 오류정정하기, 애매한 묘사의 의미를 이해시키기, 사용자의 낌새를 알아차리기, 어떤 사안이 불분명해지면 질문하기, 자연언어 자체를 사용하기등... 이 때 사람들은 신뢰성과 유연성사이에서 적당한 타협점을 찾을 수 있기를 원한다.

 

정신대 두뇌

두뇌에 대해 논하고 있는 다음 장에서는 두뇌의 가장 높은 층위인 정신을 이해할 수 있는 지를 검토할 것이다. 물론 우리가 정신과 관련이 있기도 하고 동시에 관련이 없기도 한 낮은 층위들을 이해하지는 못하지만 ...낮은 층위의 법칙들에 대해서 "봉쇄"된, 따라서 뇌세포의 미시적인 활동을 좌우하는 사고의 법칙들이 존재하는가? 아니면 사고의 과정들을 하위체계들로 쪼개어 넣는 것이 불가능한가? 아니면 두뇌는 차라리 원자, 재규정된 전자, 원자핵, 중성자 아니면 쿼크 같은 것인가? 의식은 부수현상인가? 정신을 이해하려면 신경세포의 층위에 이르기까지 깊숙이 내려가야 하는가?

 

괴델,에셔,바흐- 영원한 황금 노끈

 

제9장  무몬과 괴델

 

서양 지성인들의 동양종교에의 심취는 무슨 까닭일까? 헤르만 헤세의 '싯다르타'에 나타난 종교사상을 호프스태터의 이 책에서 만나게 될 줄이야. 무몬은 참선을 극단적으로 표현하기 위하여 13세기에 48개의 선문답집을 썼다. 선문답(공안)의 전형적인 요소는 이율배반이다. "논리의 본질을 분쇄하려는"시도가 모든 선문답에 드러나 있다. 참선의 목표는 논리를 분쇄시킴으로 혼동을 야기하는 것이다. 우리를 혼동의 상태에 있게함으로, 우리의 마음을 비논리적으로 작동하도록 하는 것이 참선의 목표인 것이다. 그 이론에 따르면 논리로부터 벗어날 경우에만 깨우침으로 도약할 수 있다

 

깨우침을 가장 정확히 요약하자면 '초월적 이원론'이다. 인간의 지각은 그 본질에 있어 이원론적이다. 인간의 지각은 세계를 개념적으로나 지각적으로 상이한 범주로 분할한다. 낱말의 사용은 아주 분명하게 개념적인 범주를 표상하기때문에 본질적으로 이원론적이다. 따라서 참선의 요체는 낱말에 대한 의존을 극복하려는 투쟁이다. 이렇게 본다면 깨우침의 적은 논리라기 보다는 언어적 사고 속에 들어 있는 이원론적 사고이며 지각이다. 지각은 우리를 대상과 그 밖의 세계 사이에 경계선을 긋는다. 세계를 인위적으로 여러 부분으로 쪼개며, 그로 인해 진정한 길을 놓치게 되는 것이다.

 

헤세의 '싯다르타'에서 주인공인 싯다르타가 깨달은 것, 그리고 마지막 순간에 그의 친구 고빈다가 깨달은 것이 바로 이러한 이원론의 초월이셈이다. 싯다르타는 그의 친구 고빈다에게 자신의 깨달음을 말로 표현하지 못한다. 하지만 결국 고빈다도 모든 세계가 일체로 이루어졌음 - 심지어 선과 악도 일체임을 깨닫게 된다. 금세기 최고의 철학자로 인정받는 비트겐슈타인도 "말할 수 없는 것에 대해서는 침묵해야 한다"라는 말은 참선이 표방하는 언어로는 진리를 나타낼 수 없다는 사상과 맥이 닿는 것 같다. 에셔의 목판화 "베르붐"이라는 작품에서는 대립들이 다양한 층위의 통일체로 묶인다. 그리고 "세개의 공"이라는 석판을 보면, 세계의 각 부분이 각기 다른 부분을 포함하고, 또 모든 다른 부분들에 거꾸로 포함된 것 처럼 보이는 모습이 있다. 이것은 불교의 우화 "인드라의 그물"을 생각나게 하기도 한다.

 

MU는 정리의 본성을 가지는가, 아닌가?

호프스태터는 MIU-체계에 괴델수를 부여함으로 310-체계와 같은 숫자로 이루어진 체계로의 변환을 보여준다. 이렇게 괴델의 방법론을 통해  임의의 형식체계에 그와 동형관계를 가지는 일련의 산술 규칙을 만들 수 있다는 것을 알 수 있게 된다. 그 결론은 모든 형식체계의 연구에 수론을 적용할 수 있다는 것이다.

 

그렇다면 어떤 활자형 규칙의 집합이 정리들을 재귀순환적으로 생성할 수 있는 것과 같이, 산술 규칙을 반복적용함으로 그에 상응하는 자연수의 집합을 만들 수 있다는 결론에 도달한다. 이렇게 만들어진 수를 "가산수"라고 하는데, 이 "가산수"는 수론에서 형식체계의 정리들과 같은 역할을 한다. 그러면 "비가산수"도 재귀순환적으로 연산될 수 있는 지, 비가산수들은 공통적인 산술적 속성을 가지는 지 궁금해 진다. 이 문제를 해결하기 위하여 TNT체계를 사용할 수 있다.

 

즉 'MU는 MIU-체계의 정리인가?' 은 310-체계를 통해 "30은 MIU-수인가?"라는 말로 변환될 수 있다.

그리고 "30은 MIU-수이다"라는 명제를 또 다시 TNT-표기법으로 표현할 수 있다. 이렇게 얻어진 TNT 연쇄체를 MUMON이란 부르면...

"MUMON은 TNT의 정리인가?"라는 질문이 "MU는 MIU-체계의 정리인가?"하는 문제와 동형관계를 형성하게 된다.

 

우리는 "MU는 MIU-체계의 정리인가?"라는 질문에 대한 명확한 대답을 얻기 위해(이 질문에 대한 대답은 MIU-체계내에서의 기계적 방법으로는 얻을 수 없으며, 다만 그 형식체계를 벗어난 상태에서 지능적인 방법으로 시행되어야 한다), 비교적 짧은 연쇄체(MU)을 또 다른 기괴한 연쇄체(MUNON)으로, 그리고 간단한 형식체계(MIU-체계)를 더 복잡한 형식체계(TNT)로 대체한 것이다.  

 

이 과정은 다음과 같은 사실과 관련이 된다.

1) "MU는 정리이다"와 같은 명제들은 괴델의 동형관계를 거쳐서 수론으로 코드화될 수 있다.

2) 수론의 명제들은 TNT로 번역될 수 있다.

 

이제 TNT 자체에 괴델 수를 부여하고 그 추론 규칙을 "산술화"한다. ...블라블라....이하는 이해불가...

 

G의 존재가 TNT의 불완전성을 야기한다.

G는 TNT의 정리인가, 아인가?

TNT는 추론적 사고의 유효한 방법이고, 따라서 TNT 자체는 결코 정리에 대한 거짓을 포함하지 않는다는 일상적인 전제를 해 보자. 달리 말하자면, TNT의 정리인 모든 것은 하나의 진리를 표현한다. 그래서 G가 정리라면, 그것은 하나의 진리, 즉 "G는 정리가 아니다"를 표현할 것이다. 이 재귀준거의 힘이 여기서 아죽 극적으로 발휘된다. 하나의 정리이기 위하여, G는 거짓이어야 할 것이다. TNT가 결코 정리에 대한 거짓을 포함하지 않는다는 우리의 전제에 기대어 볼 때, 우리는 G는 정리가 아니다라는 결론에 도달하지 않을 수 없다. 그건 그런대로 괜찮지만, 작은 문제가 하나 남는다. G가 정리가 아니라는 사실을 알게 됨으로써, G가 진리를 표현한다는 것은 시인해야 한다. 바로 여기에 TNT가 우리의 기대를 충족시키지 못하는 상황이 있는 것이다. 우리는 참인 명제를 나타내지만 정리는 아닌 연쇄체를 발견했다. 그리고는 놀랍게도 우리는 G 또한 그 결과들을 다음과 같이 요약해주는 산술적 해석을 가진다는 사실의 단서를 놓쳐서는 안된다.

'TNT의 연쇄체는 발견되었다. 그것은 분명히 자연수의 일정한 산술적 속성에 대한 명제를 표현한다. 더욱이 그 체계의 외부에서 추론한다면, 그 명제가 참인지뿐만 아니라 그 연쇄체가 TNT의 정리가 아니라는 것 또한 결정할 수 있다. 따라서 우리가  TNT에게 그 명제가 참인지를 묻는다면, TNT는 긍정할 수도, 그렇다고 부정할 수도 없다. ????

 

괴델,에셔,바흐- 영원한 황금 노끈

 

제8장  활자형 수론

 

"게카논"은 형식과 내용에 있어 흥미로운 점을 포함하고 있다. <어느 한 층위에서는 이해하지만, 다른 한 층위에서는 이해하지 못한다> 바로 이점을 "게카논"을 통해서 이야기하고자 한 것 같다.

 

8장에서는 활자형 수론(TNT)라는 형식체계를 소개한다. 놀랍게도 이 TNT는 모든 수론의 정리들을 형식화할 수 있는 것처럼 보인다. 예를 들면 '5는 소수이다' 또는 '무한하게 많은 소수들이 존재한다'와 같은 명제들을 기호를 사용하여 표현할 수 있다는 것이다. 그리고 TNT형식체계의 공리와 규칙들을 사용하여, 여러가지 정리들을 유도해 낼 수 있다는 것이다. 다시 말해 재귀연산을 통해 참 명제(정리)들을 생산해 내고 그 결과 거짓명제를 구별할 수 있을 것처럼 보인다는 것이다. 만일 TNT 체계가 그 일을 성공적으로 해 낼 수 있다면 이는 우리가 모든 진리를 비진리로 부터 구별할 수 있는 활자형 방법론을 가지게 된다는 것을 의미한다. 하지만 그것이 가능할까? 이 책의 취지로 보건데 그건 가능하지 않을 것같다.  

 

페아노의 다섯개의 공준

1889년 페아노는 자신의 공준을 제안하면서 유클리드의 방식을 따랐다. 유클리드는 기본적인 4~5개의 공준을 기초로 다른 기하학적 정리들을 유도해냈다. 페아노는 추론적 사고의 원리들을 공식화하지는 않았지만, 추론적 사고를 통하여 다른 모든 것들을 유도시킬 수 있는 자연수의 속성의 작은 집합을 제시하고자 했다. 이렇게 함으로 페아노는 자연수의 개념을 정의하고자 했다.

수학자들은 대체로 페아노가 그의 다섯개의 공준으로 자연수의 본질을 지적하는데 성공했다고 믿는다. 하지만 그의 성공이 "우리가 자연수에 대한 참명제와 거짓 명제를 어떻게 구별할 수 있는가?"라는 문제의 답은 제시하지 않는다. 그래서 이 문제에 답하기 위해서 수학자들은 TNT와 같이 전적으로 형식적인 체계에 몰두했다.

 

그렇다면 TNT 체계는 바로 수학자들이 원했던 그런 체계일까?

 

ω-불완전 체계들과 결정 불가능한 연쇄체

"한 피라미드 가족의 모든 연쇄체들이 정리이지만, 전칭양화처리된 요약하는 연쇄체가 정리가 아닐 경우, 하나의 체계는 ω-불완전하다. 이것은 어떤 연쇄체는 체계안에서 결정 불가능하다는 것을 의미한다. 그런데 "결정불가능하다"라는 말은 '그 체계가 계속 확장될 수 있다는 데 대한 징후일뿐이다' 다시 말하자면, 결정불가능을 결정가능으로 만들기 위해 그 상위의 형식체계로의 확장의 가능성이 열려있다는 말이다. 예를 들어 유클리드 기하학에서의 절대기하학은 "점" "직선"이라는 용어의 의미를 제대로 정의하지 않았기에 - 무정의 용어로 사용했기때문에, 그 결과 그 개념의 다양한 확장을 위한 여지가 남아있게 되는 것과 같다. 유클리드 기하학에서 점과 직선은 "점"과 "직선"이라는 개념들의 일종의 확장을 제공하며, 비유클리드 기하학의 "점"과 "직선"은 다른 확장을 제공한다.

 

ω-모순은 모순과 다르다.

1) 모든 자연수들이 일정한 속성을 가진다고 집단적으로 주장하는 정리들의 피라미드 가족과 2) 모든 수가 일정한 속성을 가지지는 않는다는 것을 주장하는 것으로 보이는 유일한 정리를 대립시킴으로써 생기는 그런 종류의 모순을 ω-모순이라고 한다.

ω-모순적인 체계는 인정하기 힘들지만 결국 받아들일 수 밖에 없는 비유클리드 기하학과 같은 것이다. 이 모순처럼 보이는 상황을 해결하기 위해서는, 자연수와는 다른 예기치 못한 "별도의" 수가 있다고 가정해야 한다. 그것을 "자연수"가 아니라 초자연수라고 해보자, 그렇다면 그 수(초자연수)들은 피라미드 가족에서는 표현될 수 없다. 결국 모든 것이 제대로 운용되게끔 기호들을 해석하는 방법이 있기때문에, 그것은 알고 보면 진정한 모순은 아니다.

 

-> 의미는 어디에 있는가? 라는 장에서, 메시지는 세개의 층위를 가지고 있음을 말한 바 있다. 그중 외부메시지는 의미심장하다. 위에서 언급한 "...모든 것이 제대로 운용되게끔 기호들을 해석하는 방법이 있다"는 것은 바로 외부메시지와 관련이 있는 것이다. 의미를 이해하는 데는 내부 메시지만이 아니라 외부메시지의 영향도 무시할 수 없다는 사실, 즉 지능적인 방법으로 일을 처리하는 방법 - 자신의 체계에 대해 사고하는 - 은 체계 외부에서만 가능하다는 것을 다시 한 번 일깨워주는 것 같다.

 

힐베르트의 프로그램

다비드 힐베르트의 지휘아래 , 수학 및 논리학의 중요한 학파에 의해서 금세기 초반에 추진되었던 희망사항 및 목표는 무모순성을 지닌 수론을 공식화하는 것이었다. 이 수론은 "유한론적"입장으로 불리는 매우 제한된 집합의 추론 원리들을 적용하여 TNT와 유사한 수론의 무모순성을 증명하는 것이었다. 하지만 괴델은 TNT의 무모순성을 증명할 만큼 충분히 강력한 그 어떤 체계도 최소한 TNT 자체만큼 강력하다는 것을 증명하였다. 체계내에서는 그 체계의 무모순성을 증명할 수 없다는 말이다. 그 체계의 메타체계, 그리고 메타메타체계...등 끝없이 이어지는 순환성을 피할 수는 없다는 것이다.  

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