소수의 세계

물질 세계를 구성하는 기본 원자들이 있는 것처럼, 수의 세계에서는 소수가 있다. 소수는 모든 수를 생성한다.

하지만 정확히 어떤 시점에서 소수가 출현할지는 알 수가 없다. 그 소수를 알아내는 식을 수학자들은 찾지 못했다.

하지만 가우스는 관점을 바꾸어 생각을 했다. 어떤 범위안의 소수의 갯수를 살펴봄으로 소수의 분포상황을 알아 보았더니, 보다 체계적인 윤곽이 어렴풋이 보였던 것이다. 그것은 log함수로 나타나는 데, 자연로그 e(=2.7182818479...)가 거듭제곱될 때마다 소수의 갯수가 1씩 증가하는 양상을 보였던 것이다. 평균 logN 개의 수를 셀 때마다 한개의 소수가 출현하다는 것이다. 이에 따라 다음의 추측이 성립이 된다.

 

가우스의 소수추측 1: pi(N)= N/logN   임의의 수 N까지의 소수의 갯수는 N * logN이다.

가우스의 소수추측 2: pi(N)= Li(N) = 1/log2 + 1/ log3 +...+ 1/logN       임의의 수 N이 소수일 확률은 1/logN 이다. 임의의 수 N까지의 소수의 갯수는 위의 식과 같다.

 

골드바흐의 추측: 임의의 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.