자연의 패턴 속으로 떠나는 여행 대칭

소수의 음악의 저자 마커스 드 사토이 지음/ 안기연 옮김/ 승산

 

도서관이 불타는 와중에서 단 한 권만 가지고 나올 수 있다면 당신은 어떤 책을 가지고 나오겠는가?

하버드의 유명한 수론학자는 [유한군의 아틀라스]를 가지고 나오겠다고 말했다.

도대체 [유한군의 아틀라스]가 무엇이길래 그런 것일까?

멘델레예프의 주기율표는 누구나 안다. 지구상에 존재하는 것으로 알려진 모든 원소들을 그 특성에 따라 일정한 규칙에 의해 수록한 도표가 그것이다. [유한군의 아틀라스]는 존재하는 모든 군의 주기율표이다. 대칭을 구성하는 단순군들을 분류한 일종의 지도책이다.

 

1900년이 시작될 무렵 단순군들의 목록에는

1) 변이 소수개인 다각형의 회전군

2) n장의 카드에 대하여 짝수번 섞기들로 정의되는 n차 교대군

3) 소푸스 리와 수학자들이 발전시킨 기하학적 풍미를 갖춘 리 단순군 (1950년대까지 리군들은 13개의 족을 이루고 있었다.)

4) 프랑스의 수학자 에밀 마티외의 5개의 돌발군

이 있었다.

 

에밀 마티외가 발견한 예외군이라고도 하고 돌발군이라고도 하는 기묘한 성질을 지닌 군들은 리군에 속하지 않는 주기율표상의 이단아였다. 수학자들은 목록에 있는 단순군들외에 또 다른 불가분군들을 찾아내기 시작하였다. 1970년대 점점 더 많은 돌발 대칭군이 끊임없이 생겨나자 수학자들은 그 끝이 과연 어디일지, 혹은 끝이 존재하기는 하는지 궁금해 하기 시작한다. 이러한 상황에서 두 팀이 이 작업에 활기를 불어넣었다. 콘웨이를 중심으로 전개된 모든 대칭들을 정리하는 아틀라스 프로젝트와  모든 돌발군을 찾고 그 한계를 파악하려는 고렌쉬타인 프로그램이 그것이었다. 결국 26개의 돌발군이 체계화되었다. 그 마지막 돌발군은 196,833차원의 공간에 존재하는 몬스터라고 불리는 군이다. 이 몬스터군을 찾아가는 과정에서 대칭과 수론사이의 신비한 연관관계를 보여주는 상황이 발생하였다. 1+196,833 =196,834

 

문샤인! 몬스터와 모듈러 함수 모두에 빛을 던져주는 그것. 리처드 보처즈가 매료된 '꼭짓점 연산자 대수'라고 불리는 새롭고 신비로운 대수구조는 상대성이론과 양자물리학을 통합하리라 기대되는 끈이론의 가장 심오한 개념들 중 일부를 설명한다. 물리학자들은 문샤인 거울의 한쪽에 위치한 모듈러함수를 비롯하여 다수의 기묘한 수론들이 끈이론에 내재되어 있음을 발견했다. 보처즈는 이러한 대수 구조들이 몬스터 대칭과도 긴밀하게 얽혔음을 알아냈다. 이러한 사실이 알려지자 사람들은 '우주의 대칭군'인 신비한 몬스터에 관하여 이야기 하기 시작하였다.

 

무어인들이 건축한 알함브라 궁전벽에 있는 17유형의 다양한 대칭무늬로 부터 시작된 대칭에 대한 이야기는 2,3차 방정식의 해법을 알기위한 수학자들의 이야기로 진행된다. 그리고 5차방정식의 해를 구할 수 있는 공식이 존재하지 않음을 밝히는 아벨, 루피니의 연구에 대한 이야기로 이어진다. 더 나아가 왜 5차방정식의 해를 알려주는 공식이 존재할 수 없는지 그 이유를 제시하는 갈루아의 군론에 대해 이야기하면서 그 진행은 현대에 까지 이어지는 돌발군들의 발견과 그 대미를 장식하는 몬스터군에 까지 선이 닿는다. 거기에 숨어 있는 문샤인까지... 

 

수학자들은 자폐적 증상을 가진 정신병을 가진 존재들일까? 수학자들은 과연 행복할까? 그 무엇이 수학자들을 그 고된 작업으로 밀어넣는 것일까?

 

비행기안에서 만난 일본으로 가는 선교사와 마커스 드 사토이와의 대화는 그의 종교에 대한 편견을 드러냄과 동시에 그의 수학자임에 대한 기분나쁜 우월감을 드러낸다. 그리고 대칭으로 발전하는 진화에 대한 그의 개념은 모호하다. 이러한 점들은 이 책에 있는 옥에티라고나 할까? 아니면 나 자신의 편견일 뿐일까?