괴델, 에셔, 바흐 - 영원한 황금노끈 (제3장 전경과 배경)

괴델,에셔,바흐- 영원한 황금 노끈

 

제3장  전경과 배경

 

지금 호프스태터가 관심을 갖고 이야기하고자 하는 것은 현실세계를 반영하는 형식체계를 만들 수 있는가하는 것이다. 지난 장에서는 현실세계의 일부를 pq-체계로 형식화할 수 있음를 보여주었다. 이 pq-체계는 현실의 '더하기'개념을 형식체계화 한 것이었다.

 

이번에는 '소수를 합성수와 구별할 수 있는 형식체계'를 만들 수 있을까? 라는 문제를 살펴보자. 먼저 '곱하기'의 개념을 형식체계화한 tq-체계를 고찰해보고, 이것을 이용하여 합성수를 규정해 본다. 그리고 나서는 이 합성수 생성규칙에 따라 형성된 정리의 보집합 개념을 활용하여 소수를 규정하는 발상과 그 문제점을 알아본다. 이 문제점을 고찰하는 가운데 '전경과 배경'이라는 주제개념이 등장한다.

 

이 개념과 관련있는 용어는 1) 흘림체(cursive)로 그릴 수 있는 전경 2) 재귀순환적(recursive)인 전경이다. 흘림체로 그릴 수 있는 전경은 그 배경이 다만 그림 그리는 과정의 우연한 부산물로 나타나는 전경인 반면에, 재귀순환적인 전경은 그것의 배경 또한 독자적인 전경으로 파악될 수 있는 것을 말한다. 에셔는 그런 재귀순환적인 전경을 그린 대가였다. 쉽게 말하자면 전경 자체에만 의미가 있는 경우에는 cursive하다고 이야기 하고, 전경만이 아니라 배경 역시 의미가 있는 경우에는 recursive하다고 보는 것이다. 아래 그림은 에셔가 그린 그림이다. 이 그림에는 전경과 배경의 구별이 없다. 흰색의 새모양(?)을 전경으로 보면 검은색 새가 배경이 될 터이고, 검은색 새를 전경으로 보자면 흰색새가 배경이 될 것이다. 이와 같은 것을 재귀순환적이라 말한다.

 

결정규칙으로 검출할 수 없는 정리

그렇다면 합성수와 소수는 어떤 관계에 있는가? 합성수가 전경이라면, 소수는 배경이면서도 독자적으로 전경이 될 수 있는 것일까? 다행히 합성수와 소수의 경우는 그러하다.

 

하지만 일반적인 경우는 그렇지 아니하다. 그것은 다음 두가지 이유때문이다.

1) 모든 비정리의 집합 내부에서 일정한 참이 발견된다.

2) 모든 부정된 정리의 집합 외부에서 일정한 오류성이 발견된다.

이것은 무슨 말인가? 결정규칙이 모든 정리를 창출해 내지 못한다. 또한 결정규칙으로 검출할 수 없는 정리가 존재한다는 말이다. 공리로 부터 시작하여 증명할 수 있는 정리(진리)의 집합을 만들어 낼 수 있다. 하지만 이러한 방법으로 도달할 수 없는 진리들이 그 정리의 집합 외부에 존재한다는 것이다. 또한 정리의 부정의 집합을 가정할 때 역시 그 집합의 외부에 정리(진리)만 존재하는 것이 아니라 도달할 수 없는 비진리들이 존재한다는 것이다. 이것은 쿠르트 괴델의 정리가 아닌가? 힐베르트는 완벽한 수학의 세계를 꿈꾸었지만 괴델은 그 꿈을 부서버리고 말았다. 증명할 수 없는 진리가 존재한다는 것을 증명해 버린 것이다. 증명할 수 없는 진리는 전경도 아니요, 배경도 아닌 것이다.

 

이것을 다음과 같이 표현할 수 있다.

<형식체계가 있을 때, 그것의 무표공간(비정리의 집합:배경)은 어떤 형식체계의 유표공간(정리의 집합:전경)도 아니다.>

<재귀순환적으로 연산될 수 있는, 그러나 재귀순환적이지 않은 집합들이 존재한다.>

'재귀순환적으로 연산될 수 있는'이라는 수학적 표현은 "흘림체로 그릴 수 있는"이라는 개념이며, '재귀순환적'이라는 표현은 "재귀순환적으로 그릴 수 있는"이라는 의미로 받아 들일 수 있다. '재귀순환적인 집합'은 그 배경 또한 하나의 전경이 되는 그런 전경이다. 즉 그 전경만이 재귀순환적으로 연산되는 것이 아니라, 그 전경의 상보적 부분인 배경 또한 재귀순환적으로 연산된다.

 

여기에서 이러한 결론이 나온다.

<그것에 대하여 어떤 활자형 결정절차도 없는 그런 형식체계가 존재한다.>

<괴델의 정리, 튜링의 정지문제 같은 제한적 결과라든가 재귀순환적으로 연산될 수 있는 모든 집합이 다 재귀순환적인 것은 아니라는 원리를 토대로 제시된다.>

 

나 개인의 의문..."어떤 활자형 결정절차도 없는 그런 형식체계를 형식체계라 부를 수 있는가? 그 형식체계에 밎는 정리를 어떻게 생성해 낼 것이며, 비정리를 어떻게 구별해 낼 것인가? 바보! 증명할 수 없는 정리들의 집합도 하나의 형식체계로 볼 수 있지. 하지만 그 형식체계내에서는 어떤 것이 정리인지 비정리인지 구별할 결정절차가 없다는 것이지. 결정절차가 없는 형식체계!!! 음~ 인공지능에서 또 다시 멀어지는구만~