괴델, 에셔, 바흐 - 영원한 황금노끈 (제4장 무모순성, 완전성, 그리고 기하학)

괴델,에셔,바흐- 영원한 황금 노끈

 

제4장  무모순성, 완전성, 그리고 기하학

 

형식체계의 무모순성/ 모순성, 그리고 완전성/불완전성에 대한 문제가 논의된다.

"무정의 용어"라는 대단히 난해한 개념이 설명되고, 무정의 용어가 체계의 무모순성 및 완전성과 어떤 관계를 갖는지, 그리고 지각 및 사고 과정에 대해 어떤 영향을 미쳤으며, 이로 인해 기하학의 발전에 어떤 영향을 미쳤는 지 검토한다.

 

괴델의 불완전성

<모든 주어진 형식체계에 있는 진리란 정리적 속성을 초월한다는 그 사실이 바로 그 체계의 "불완전성"이다.>

진리의 집합은 정리의 집합보다 크다는 의미로 이해해도 되겠다. 다시 말하면 증명할 수 없는 진리가 존재한다는 뜻이기도 하다.

호프스태터의 말을 다시 빌리면, <진리와 정리성이라는 개념들 사이의 괴리>가 있다는 말이다.

 

모순성

두가지 부류의 모순성을 지적할 수 있다.

1) 외부세계와의 모순

2) 내부적인 모순

 

형식체계내의 정리들을 해석하였을 때, 그 해석된 명제들에 상당수의 오류명제를 포함한다면 이 체계는 외부세계와의 모순이다.

또한 그 체계가 자기들끼리도 충돌하는 명제들을 포함한다면 이는 내부적인 모순을 가지는 것이다. 

하지만 체계내의 기호에 대한 의미있는 해석을 발견하여 외부세계와의 모순 및 내부의 모순을 동시에 제거할 수도 있다.

호프스태터는 수정된 pq-체계에 대한 설명으로 이를 이해시키고 있다.

 

유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 출현

유클리드 기하학에는 다섯가지의 공준을 제시한다. 그 중 앞의 네 개의 공준을 토대로 유도될 수 있는 기하학을 절대기하학이라고 부른다.

다섯번째 공준은 문제가 되어 왔다. 유클리드를 포함하여 그의 제자들 그리고 수많은 학자들은 제 5공준을 1~4공준을 이용하여 증명하기 위하여 노력을 기우려 왔다. 이러한 노력의 결과 '비유클리드 기하학'이 등장하게 된다.

 

비유클리드 기하학이 출현하게 되는 데는 무정의 용어 개념이 중요한 역할을 한다. 예를 들어 <점, 직선등의 의미를 그것들이 나타나는 정리(또는 명제)의 집합을 통해서 규정되도록 만들 수 있다. 이것이 비유클리드 기하학 발견자들의 위대한 인식이었다.>

예를 들어 유클리드 기하학에서 정의되는 '점'과 타원기하학에서 정의되는 '점'은 같지 않다. 유클리드 기하학에서는 수많은 직선이 한 점을 지날 수 있으며, 두 점은 한 직선을 결정한다. 하지만 타원기하학에서는 사정이 다른다. 수많은 직선이 구 표면의 두 점을 지날 수 있다. 구의 지름의 양쪽 끝에 존재하는 두 개의 점은 평면기하학의 한 점에 상응한다는 점에 유의해야 한다. 그러므로 타원기하학에서는 점은 대칭을 이루는 두개의 점들로 구성된다고 말할 수 있다. 

 

이렇듯 '점'이나 '선'같은 낱말들이 단지 그것들이 출현하는 명제가 부여하는 의미만을 가지는 것으로 취급하게 되면, 그 특수한 낱말들은 더 이상 일상적인 의미를 가지지 않는다. 이러한 것들을 무정의 용어(undefined term)이라고 불린다. <무정의 용어의 완벽한 정의는 오직 공준에서 유지된다. 왜냐하면 공준으로부터 유도되는 명제들은 이미 그 공준에 함축되었기때문이다. 이런 시각에서 보면 공준이란 모든 무정의 용어의 정의들, 즉 다른 무정의 용어들에 의해서 정의된 모든 무정의 용어들의 정의들에 대한 함축적 정의일것이다.>

 

특정한 낱말을 무정의 용어로 사용하여 기하학을 추구함으로 비유클리드 기하학이 발견되었다. 낱말들은 확고하고 불변의 의미를 가지는 부류와, 체계가 모순이 없을 때까지 그 의미가 조절되어야 하는 부류(무정의 용어)로 나뉜다. 이런식으로 기하학을 추구하는 것은, 첫번째 부류의 낱말들에 대해서는 그 의미가 이미 기하학 외부의 어딘가에 확정되었다는 것을 요구한다. 이 낱말들은 그 체계에 토대가 되는 구조를 부여하는 견고한 뼈대를 형성한다. 이 뼈대에 다른 재료가 채워지면 그 체계는 변할 수 있다.

 

무모순성과 모순성

무모순성과 모순성을 정의해 보자. 외부세계와의 모순성이라는 관점에서 볼 경우 무모순성은 해석된 모든 정리가 참인 명제가 된다는 것이며, 모순성은 해석된 문장들 중에서 적어도 하나의 오류진술이 있을 경우 말한다.

 

내적인 모순성에 대해서는 어떤 체계가 그 해석이 양립불가능한 둘 이상의 문장을 함유하면 모순일 것이고, 해석된 모든 문장이 양립가능한 경우에는 모순이 아닐 것이다. 즉 내적 무모순성은 모든 정리가 참임을 요구하는 것은 아니고, 다만 정리들 간의 양립가능성을 요구할 뿐이다.

 

정리하자면, 해석된 모든 정리가 참으로 증명되면 외부세계와 모순이 없다는 것을 말하며, 해석된 모든 정리들이 양립가능한 것으로 증명되면 내적으로 모순이 없다는 것을 말한다.  

 

가상의 세계와 무모순성

이러한 두 종류의 무모순성 사이에 밀접한 관계가 생긴다. 여러 개의 명제가 서로 양립가능한 지 여부를 확인하려면, 우리는 모든 명제가 동시에 참일 수 있는 그런 세계를 상상해 보아야 한다. 따라서 내적인 무모순성은 외부세계와의 무모순성에 의지한다. 그 "외부세계"는 우리가 지금 살고 있는 그 세계 대신에 [상상할 수 있는 모든 가상세계]이다. 가장 관대한 무모순성의 세계는, 논리학을 제외하고는 그 어떤 것도 강요하지 않는 "논리학적 무모순성"일 것이다. 그 외 '수학적 무모순성, 물리학적 무모순성, 생물학적 무모순성'의 세계를 상상할 수 있다. 그러면 이 모든 가능한 세계가 공유해야 할 것은 무엇인가? 커뮤니케이션을 할 수 있는 공통의 토대를 인정하는 것이 필요하지 않을까? 그렇다면 반드시 그 토대에는 논리학이 포함되어야 할 것이다. (그러나 모순을 추구하는 선에 대한 믿음의 체계는???)

 

대부분의 현대 수학자와 철학자들의 공통적인 의견은 논리학과 더불어 우리가 "상상 가능한 세계"라고 이해하는 것에 속하는 핵심 수론이 존재한다는 것이다. 이것은 페아노-산법이라 불리는 것이다.

 

완전성

무모순성이 기호들이 수동적 의미를 얻는 최소 조건이라면, 그 상보적인 개념, 즉 완전성은 이 수동적 의미를 최대한 확증하는 것이다. "체계에 의해서 생성된 모든 것은 참"이라는 속성이 무모순성이라면, 완전성은 정반대이다. "참인 모든 명제는 체계에 의해서 산출된다" 이것은 이 세계의 모든 참인 진술이 아니라, 우리가 체계 속에 표상하려고 했던 영역에 속하는 것만을 의미한다. 따라서 완전성이란 "체계의 표기법으로 표현될 수 있는 모든 참인 진술은 하나의 정리이다'를 의미한다.

 

괴델의 정리가 말하는 바는 "충분히 강력한" 어떤 체계도 바로 자신의 성능 때문에, 이를테면 수론의 명제로서 참이기는 하지만 정리가 아닌 적형적인 연쇄체가 있다는 점에서(체계 내부에서 증명될 수 없는 수론에 속하는 진리들도 있다) 불완전하다는 것이다.  pq-체계와 같은 것은 완전하지만 충분히 강력하지 않기때문에 수론의 모든 진리를 감당할 수 없다.

 

....지난 장에서 전경과 배경을 논할 때 이야기한 점들의 확장이라고 보여진다. 즉 어떤 충분히 강력한 체계라 할지라도 그 불완전성을 제거할 수는 없다는 것이다. 이러한 점은 인공지능으로 가는 꿈의 실현에 큰 장애물이 되고 있다...