도전 ! 고전읽기

로지 코믹스를 읽고

원제는 "토대를 찾아서", 수학의 논리적 토대를 정립하려는 논리수학자 버트란트 럿셀의 일생이 만화를 통해 그려진다.

수많은 수학자들의 이름이 등장하는데, 제법 낯익은 이름들도 보여 기뻤다. 칸토어, 힐베르트, 괴델, 비트겐슈타인 등

이 책은 수학과 과학 여행의 시발점이 되었다. 새로운 세계를 열어주는 문, 인간과 지성을 향한 문, 책들로 이끄는 문...물론 이전에도 책을 좋아했었지만,...어릴 때 뭐라하더라, 그래 돌잡이때 책을 집었다지...그리고 학창시절 들었던 말 '남아라면 최소 세 트럭분의 책은 읽어야 한다'고...아마 그래서 도서관 서가에 꽂혀있는 장정일의 독서일기를 흘낏 보고 놀랐는지도 모른다. 엄청난 독서욕을 보여준 그 사람...그가 찾은 것은 무엇일까? 그냥 단순한 즐거움일까? 진리에의 접근일까? 그의 소설들은 음란하여 실형을 선고받기까지 했다는데, 그가 깨우친 것은 벌거벗은 인간, 생살 그대로의 인간이란 말인가? 아무런 껍데기도 없이 맨살을 드러낸 것처럼, 생 욕망을 내비치는 인간 존재를 발견했다는 말인가? 그런 인간이 우리가 지향하는 바란 말인가? 우리가 멀리해야 할 바란 말인가?

인플레이션 우주

인플라톤장에 의한 밀어내는 중력에 의한 급격한 팽창

암흑물질과 암흑에너지

좀 난해해 지기 시작한다.

그리고 끈이론에 대한 설명... 끈 이론은 양자역학과 일반상대성원리를 통합하는 통일이론으로 브라이언이 믿음을 갖고 있는 분야

초끈이론에서 M 이론까지

다양한 최신 물리학 이론을 소개하는데, 아직 검증되지는 않았지만, 검증가능한 것으로 믿고 있는 여러가지 이론들

여분차원의 존재는 중력자에 의해 검증될 수 있다는데, 아직은 기술 수준이 그에 미치지 못한다.

순간이동과 타임머신... 자유의지와 다중우주, 기다란 회전체 주위의 시공간의 왜곡은 과거여행이 가능함을 보여준다. 그리고 웜홀을 이용한 과거여행, 과거 및 미래 여행에 뒤따르는 논리적 역설의 해결... 다중 우주로 논리적 모순을 해결하려는 시도...하지만 무한한 다중우주중에서 자신이 속한 우주로의 과거로의 여행이 과연 가능하기나 할지..?

수많은 이론들 속에 진리가 있기나 한걸까?

시간과 공간은 실체가 아니다. 논리적인 근거가 있는 말로 브라이언은 받아들인다. 단지 시공간의 미세구조에 의해 평균적으로 드러난 특성일뿐 그 자체가 존재하는 것은 아니라고...

브라이언은 LHC에 큰 기대를 걸고 있는데, ...최근 LHC에서는 힉스입자를 발견하지 못했지. 다만 발표에 의하면 힉스입자가 존재할 것이라는 모종의 증거를 발견했다고는 하지만, ...결국 호킹박사의 예견이 맞았다...100달러를 잃지 않아도 되었는데, 홰 하필이면 100달러만을 걸었을까? 혹자에 의하면 호킹도 힉스입자가 발견될 것이라는 것에 마음을 두고 있었다는 건데...

이 부분에서 여러번 출현하는 <존 휠러>와 <위튼>...위튼은 처음엔 물리학자도 수학자도 아니었다는데, 아마 기자였다지...

결국 브라이언도 공간과 시간의 정체에 대해서는 ... 우주의 구조에 대해서는 딱 부러진 결론을 낼 수 없는 입장에 있다.

그의 끈이론에 대한 믿음이 과연 진실일런지는 기다려봐야지. 그리고 우주의 구조는 아마 인류에게 영원히 신비로 남아 있을 지도 모른다.

끝없이 신비속으로 빠져들면서...

현대 우주론은 대칭성의 개념에 크게 의존하고 있다. 시간의 진정한 의미와 공간의 전체적인 형태, 그리고 일반상대성이론의 이론적 근간에 걸쳐 대칭성은 핵심적인 역할을 하고 있다.

이 부분을 읽다가, 평소에 의문을 품고 있던 문제에 대한 해답을 읽게 되었다. 물론 만족할 만한 대답은 아니지만...ㅋㅋ

우리와 멀리 떨어져 있는 은하들은 굉장히 빠른 속도로 멀어지고 있다. 그러면 언젠가는 또는 어떤 먼 은하들은 빛의 속도보다 빠른 속도로 멀어지게 될 수 있지 않을까? 하는 의문이다. 브라이언의 대답은...이 멀어짐은 공간상의 이동이 아니라, 공간이 팽창함에 따라 발생하는 것이므로 빛의 속도보다 더 빠르게 멀어질 수 있다는 것이다.

H2O의 상전이와 같은 변화를 우주도 겪었다는데, 얼음에서 물로 상전이를 하면서 대칭성이 커지고, 물에서 수증기로 변화하면서 대칭성이 더 크진다. 반대로 수증기에서 물로, 그리고 얼음으로 변하면서 대칭성이 작아지는 것처럼, 우주도 빅뱅이 시작된 이후 급격히 온도가 낮아지면서 대칭성이 깨지는 일이 있었다고... 지금의 우주는 초기 우주와는 전혀 다른 '얼어붙은' 우주라고 한다. 우주가 점차 식어가다가 임계온동 도달하면 얼음처럼 얼어붙는 것이 아니라 그 안에 어떤 장이 출현하게 된다. 이를 힉스장이라고 한다.

입자에는 두종류가 있는데, 그 중 하나가 물질입자, 나머지 하나는 힘을 매개하는 입자이다. 전자기력을 매개하는 입자는 광자, 중력을 매개하는 입자는 중력자, 약한 핵력을 매개하는 입자는 W입자와 Z입자, 강한 핵력을 매개하는 입자는 글루온이다. 강한핵력장과 약한 핵력장은 1950년대에 이론의 기틀을 마련한 양과 밀스의 이름을 따서 '양-밀스장'이라 한다.

물리학자들은 물질에 의한 장과 힘에 의한 장외에 제 3의 장이 존재한다고 믿고 있다. 이 장은 스코틀랜드 출신의 물리학자 피터 힉스의 이름을 따서 힉스장이라고 불린다. 이 우주는 빅백의 유적이라 할 수 있는 힉스장으로 가득 차 있고, 모든 입자들의 특성은 이로 부터 결정된다.

힉스장은 좀 이해하기 어려운 개념이다. 일반적인 장의 경우, 장의 값이 0으로 수렴할 때, 장의 에너지도 0으로 수렴한다. 하지만 힉스장의 경우는 다르다. 힉스장의 경우 장의 값은 0으로 수렴하지 않는다. 힉스장의 값이 0이 되는 곳은 특정한 위치에너지를 가지기때문에, 힉스장의 에너지가 0인 값으로 수렴했을 때, 힉스장의 값은 '0이 아닌 어떤 값'을 갖게 된다는 것이다. 우주가 차가워짐에 다라 힉스장의 값은 에너지가 가장 작은 골짜기로 수렴하기때문에 결코 0이 될 수가 없다. 힉스장의 값을 0으로 만들려면(장을 완전히 제거하여 공간에 아무것도 남기지 않으려면) 에너지를 올려야 하고, 에너지가 올라가면 공간은 이전보다 '덜 빈 상태'가 된다. 이것이 힉스장의 특징이며, 지금의 우주는 0이 아닌 균일한 힉스장 즉 힉스의 바다로 가득차 있다. 힉스장이 전 공간에 걸쳐 0이 아닌 값을 갖게 되는 과정을 가리켜 '자발적인 대칭성 붕괴'라고 한다.

힉스입자는 입자에 질량을 부여하는 입자라고 하는데, 그것이 힉스장과 관련이 있다. 우주가 상전이를 겪기전 힉스장의 값이 격렬하게 진동하면서 평균적으로 0을 유지하고 있을 때는 힉스의 바다가 증발된 상태로 볼 수 있다. 이렇게 힉스장이 없는 상태에서는 가속운동을 하는 입자는 아무런 저항도 받지 않기때문에 질량도 0으로 사라진다. 입자들 사이에 고도의 대칭상태가 존재하고 있다는 말이쥐. 그런데 우주의 온도가 내려가면서 상전이를 겪게 되고 힉스장이 생기면서, 입자들은 질량을 갖게 되고, 입자 사이의 대칭성이 크게 줄어들게 된다. 힉스장이 형성되면서 초래된 대칭성의 붕괴는 물질입자만이 아니라 힘입자에도 질량을 부여했다. 1960년대에 셀던 글래쇼, 스티븐 와인버그, 압ㄷ스 살람은 질량이 없는 힘입자 사이에도 아름다운 대칭성이 존재한다는 사실을 발견한다. "힉스장이 형성되기 전에 모든 힘입자들은 질량이 0이라는 공통점을 갖고 있었을 뿐 아니라 모든 점에서 근본적으로 동일한 입자였다" 물리학자들은 이 대칭성을 '게이지대칭'이라고 부른다. 힉스장이 증발될 정도로 온도가 높았던 과거의 우주에서는 약한 핵력과 전자기력이 동일한 힘이었다는 것. 세사람이 약전자기론을 연구하던당시는 W입자와 Z입자가 발견되기 전이었다. 그들의 연구는 이 입자들이 발견되면서 옳은 것으로 판명되었다. 1979년 노벨 물리학상을 받는다.

이제 대통일 이론이다. 강한 핵력도 통합할 수 있을 것인가? 아직은 ... 

희한하지요...양자의 세계는 우리의 직관과 달라도 너무 달라서 말이죠. 내용을 이해는 하되, 그것을 받아들이는 것은 쉽지 않죠.

한 입자가 두 장소에 동시에 존재할 수 있는가?

미래의 사건이 과거의 사건에 영향을 미칠 수 있는가?

다양한 슬릿실험을 통해 관찰한 양자의 특징은 도저히 우리의 직관으로는 받아들일 수가 없다. 슬릿을 통과하기전에 전자나 광자를 관측하면 스크린에 간섭현상이 나타나지 않는다. 관측당한 양자가 슬릿을 지난 후 경로지우기를 통해 조작을 가하면, 다시 간섭무늬가 나타난다. 양자가 어떤 경로를 통해 왔는지가 밝혀지면 양자는 더 이상 파동처럼 행동하지 않고 입자처럼 행동한다. 하지만 다시 그 경로를 지워버리면 다시 파동처럼 행동한다.

양자가 슬릿을 통과한 후 시간이 꽤 지난 후, 하지만 스크린에 도착하기 전에 관측을 하면 어떻게 될까? 양자는 슬릿을 통과할 때 이미 두 슬릿을 동시에 통과했겠지. 그리고 시간이 지난 후에 양자를 관측하면, 이 양자는 자신이 두개의 슬릿을 동시에 통과하지 않은 것처럼 행동을 한다. ??? 즉 스크린에 간섭무늬가 나타나지 않는다.

광자를 가지고 한 실험도 흥미롭우면서도 괴상한 결과를 가져온다.

광자분리기를 통과한 후, 다시 이 광자는 낮춤변환기를 통과한다. 이 변환기를 통해 광자는 1/2의 에너지를 가진 신호광자와 또 다른 광자(공전광자)로 분리된다. 이 신호광자에 영향을 주지 않고 공전광자를 관찰하면 어떻게 될까? 간접적으로라도 그 경로가 드러나게 된 광자는 더 이상 간섭무늬를 만들지 않는다. 그러면 신호광자가 스크린에 도착한 후 공전광자를 관찰하여 신호광자의 경로를 스크린에 도착한 후 알게 된다면 어떻게 될까? 예를 들어 10광년 떨어진 곳에 공전광자를 관측할 수 있는 장비를 설치하여 그것을 관측함으로 이미 10년전에 스크린에 도착한 광자의 경로를 10년 후에 파악한다면, ... 그 10년전의 광자는 간섭무늬를 만들까? 만들지 못할까? ㅋㅋ

미래의 사건이 과거의 사건에 영향을 줄 수 있을까? 브라이언은 그렇다고 말한다...괴상망측하다.

시간의 동시성, 그리고 공간과 시간의 관계는 요지경인데, 과연 브라이언의 말을 모두 믿을 수 있단 말인가?

우리가 살고 있는 우주는 비국소적인 특성을 가지고 있다. 위의 실험은 시간과 공간을 초월하여 두 개의 사건이 서로 얽혀 있음을 주여준다.

브라이언도 이에 대해 다음과 같이 말한다. "일상적인 경험으로 미루어 보면 말도 안 되는 결론이지만, 우리의 우주는 이와 같이 '말도 안되는' 방식으로 운영되고 있다."

양자적 관측이 양자적 실체에 영향을 미치는 것일까? 어떻게 관측이라는 행위가 실체에 영향을 미칠 수 있는가? 양자적 관측과 양자적 실체에 대한 구구한 설명이 존재한다. 그 중 하나가 휴 에버렡가 제안했던 다중우주 해석이다. 또한 데이비드 보옴은 모든 물체는 입자이면서 '동시에' 파동으로 간주된다. 파동함수가 입자 자체가 상호작용하면서 입자의 운동을 '인도'하거나 '강제'하고 있으며, 한 지점에서 발생한 파동함수의 변화는 즉각적으로 멀리있는 다른 입자에 영향을 줄 수 있다고 생각했다. 입자는 슬릿하나만 통과한다. 하지만 입자의 파동함수는 두 개의 슬릿을 동시에 통과한다. 파동함수는 입자의 운동을 인도함므로 파동함수의 값이 큰 곳일수록 입자가 도달할 확률이 커진다.

현대 최고의 물리학자로 손꼽히는 파인만...그는 전자나 광자의 슬릿실험에 나타난 간섭무늬를 통하여 놀랍고도 괴상하기 짝이 없는 아이디어를 내 놓았다. 개개의 원자가 두 개의 슬릿을 동시에 통과하여 스크린에 도달했다는 것은, 한 전자의 과거지사가 슬릿을 통과하는 순간부터 두 개로 분리되어 동시 진행되어 왔다는 것을 의미한다. 즉 하나의 전자는 '왼쪽 슬릿을 통과해 온 과거' 와 '오른쪽 슬릿을 통과해 온 과거'를 동시에 갖고 있으며, 스크린에 나타나는 간섭무늬(전자의 현재모습)는 두 종류의 과거지사에 똑같이 영향을 받는다는 것이다. 파인만의 논리를 간단히 설명하면 다음과 같다 - 하나의 결과가 여러가지 방법으로 나타날 수 있는 경우, 모든 가능한 사건들은 동시에 진행된다. ㅍ인만은 이 모든 '가능한 경우'들이 최종결과가 나타날 확률에 나름대로 기여하고 있으며, 각각의 확률을 모두 더한 결과는 양자역학이 예견하는 총 확률과 정확하게 일치한다는 것이다. 파인만이 '모든 과거의 합'이라고 불렀던 이 계산법은 확률파동이 모든 가능한 과거에 골고루 내재되어 있다는 것을 보여 주었으며, 그로 인해 양자역학이 말하는 과거의 개념은 가히 혁명적인 변화를 겪게 되었다. ???

의견) 등속운동을 하는 관측자들의 시공간 단면들은 서로에 대해 일정한 각도로 기울어져 있다. -> 정지해 있는 관측자가 측정하는 시간과 그에 대해 등속운동을 하는 관측자가 측정하는 시간은 다르다. 등속운동을 하는 관측자에게 5분의 시간이 지날 때, 정지한 관측자의 시간이 10분 지난다면, 등속운동 10분이면, 정지시간 20분, 15분이면, 30분...점점 시간의 격차는 크기고, 시공간 단면은 일정한 각도로 기울어져 있는 것이 아니라 점점 기울기가 달라져야 할 것으로 추정되는데...결국은 기울기가 45도를 넘어서게 되는 순간이 오게되면....브라이언의 설명은 뭔가 맞지 않는 것 같다....

의견2)혹성탈출에서처럼 먼 우주를 여행하고 돌아온 여행자의 시간은 얼마 흐르지 않았는데, 지구에서의 시간은 엄청지나, 결국 그 여행자는 미래의 세계로 돌아온 셈이 된다. 여행을 떠나기전 시공간 단면과 우주 여행시의 시공간 단면, 그리고 다시 지구로 귀환했을 때의 시공간 단면은 어떤 관계에 있을까?

의견3)정지한 관측자에 대해 상대적 등속운동을 하는 관측자의 시간이 느리게 간다면,... 역으로 생각해 보자. 정지한 관측자는 운동을 하고 있는 관측자에 대해 상대적 운동을 하고 있는 셈이다. 그러면, 정지한 관측자의 시간은 운동하고 있는 관측자의 시간보다 느리게 흘러야 한다. 누구의 시간의 느리게 가는 걸까? 

4장 얽혀 있는 공간

양자 세계에 있어서의 공간의 비국소성- 아인쉬타인은 즉각적으로 전달되는 영향을 "유령 spooly"이라는 단어에 비유하기도 했는데, 브라이언 자신도 '지금까지 실험으로 확인된 물리적 사실들 중에서 이 우주가 국소적이지 않다는 것을 가장 황당무계한 사실로 꼽고 싶다'고 말하고 있다.

개개의 입자들은 파동적 성질을 가지고 있다. 슈뢰딩거는 "전자는 공간의 일정 영역 안에 '퍼진 채로' 존재하며 그 존재 자체가 파동이다"라는 가설을 제안했다. 하지만 전자는 결코 분해되지 않으며, 전자의 모든 질량과 전하는 공간상의 아주 작은 영역 속에 밀집되어 있기 때문에 이 가설은 현실성이 없다.

1927년 막스보른은 파동의 정체는 공간에 퍼져 있는 전자가 아니라 '확률파동'이라는 해석을 내 놓았다. "공간상의 한 지점에서 주어진 파동의 크기는 그 지점에서 전자를 발견할 확률에 비례한다"는 것이 보른의 생각이었다. 양자역학에 의하면 아무리 작은 입자라 해도 그 확률파동은 우주 전역에 걸쳐 퍼져있다. 그러나 대부분의 경우에 입자의 확률파동은 금방 0으로 사라지고 아주 작은 영역안에서만 0이 아닌 값을 갖게된다. 그러므로 양자역학을 수용한다면 모든 물질의 기본적 구성요소이자 거의 점입자로 간주해 왔던 전자 하나가 우주 전체에 걸쳐 퍼져 있다는 것을 사실로 받아들여야 한다.

불확정성원리...불확정성원리는 진리에 대하여 우리가 알 수 있는 한계를 설정한 것인가? 아니면 그 한계라는 것이 진리, 그 자체인가? 양자역학의 불확정성 원리가 '두가지를 동시에 정확하게 아는 것'이 불가능함을 선언했음에도 불구하고 물체의 진정한 속성은 여전히 그 곳에 존재하는가? 아니면 불확정성원리가 주장하는 대로, 임의의 순간에 한 입자는 명확한 위치와 속도를 동시에 갖지 않는가?

이 문제에 대한 EPR의 요지는 "양자역학의 이론적 예견치가 실험결과와 정확하게 일치하는 것은 사실이지만, 양자 역학 자체는 미시세계를 서술하는 궁극적인 이론이 될 수 없다"는 것이다. 양자역학은 엄연히 존재하는 실체를 알아내지 못하기때문에 불완전한 이론일 수 밖에 없다는 것이다. 그리고 데이비드 보움도 "입자의 실체가 눈에 보이지 않는다고 해도 여전히 그곳에 존재한다"라고 주장했다. 이렇게 눈에 보이지 않는 특성을 "숨은 특성" 또는 "숨은 변수"라고 한다. 입자의 실체가 있는가? 아니면 확률파동으로만 이해해야하는가? 대충돌이다.

1964년 벨은 위의 문제의 검증에 대한 아이디어를 생각해 냈다. 1970년에 버클리대학의 프리드만과 클라우지가 성공적으로 실험에 성공, 1980년대에프랑스의 알랭 아스펙과 동료들이 정밀한 실험을 구현하였다. 결과는 "두 물체가 양자적으로 상호연관 되어 있으면 그 영향은 공간을 초월하여 즉각적으로 전달된다"는 것이다. 이 현상을 '양자적 얽힘'이라고 부른다. 이와 같은 즉각적인 장거리 상호관계가 가능하려면 입자는 서로 연관된 속성을 미리부터 갖고 있어야 한다는 것이 EPR의 주장이었으나, 그들의 논리는 실험에 의해 잘못되었음이 입증되었고, 결국 물리학자들은 우주가 비국소적임을 인정해야만 했다.

양자적 얽힘과 특수상대성이론 사이의 괴리를 어떻게 설명해야 할까? 

어쨌든 양자얽힘과 공간의 비국소성은 우리의 공간에 대한 개념을 확뒤집어 놓는 개념이라... 

The Fabric of the Cosmos by Brian Greene  승산

우주의 구조

공간과 시간의 구조에 대해 설명하려고 하는가 보다.

브라이언의 이야기를 풀어나가는 솜씨가 유별나게 쉬우면서도 이해가 잘 간다.

뉴턴의 물통돌리기 실험에서부터 상대성이론까지 연결되는 나무줄기가 굵직하면서 곧바르다.

뉴턴의 물통실험에서 절대공간개념을 주장한다. 그리고 이에 반박하는 라이프니쯔와 그를 이은 에스테르 마하의 주장으로 이야기는 이어진다. 아무 것도 없는 절대 무 공간에서는 회전과 무회전을 구별할 수 없다는 마하의 생각에 저자도 같은 생각을 가지고 있다.아인쉬타인도 뉴턴의 절대공간개념보다 마하의 견해에 동의한다.(그럼 절대무공간에서는 회전에 의한 원심력의 작용도 없다는 말인가?) 테르에 대한 이야기, 그리고 이를 검출하기 위한 시도들의 실패, 맥스웰의 방정식에서 보여주는 빛의 속도, 맥스웰은 이 빛의 속도는 무엇에 대한 속도인지에 대한 언급이 없다. 마이컬슨과 몰리나의 빛의 속도 측정에서는 광원의 움직임이 어떠하더라도 빛의 속도가 동일함을 보여준다. 오랫동안 빛의 성질에 대해 고민해 왔던 아인쉬타인, 어릴 때부터 생각하기를, 만약에 빛의 속도로 달린다면 빛은 어떻게 보일 것인가? 고전물리학에 의하면, 이러한 경우 빛은 정지상태에 있는 것으로 보일 것이다. 하지만 맥스웰의 방정식은 그것을 부인한다. 또한 빛의 속도를 측정한 실험에서는 빛의 속도가 일정함을 보여준다. 여기서 특수 상대성이론이 출발하게 되는데...

브라이언의 특수상대성이론 설명은 아주 우아하고 이해가 쉽다. 그의 설명의 핵심은 이것이다. 우주의 모든 물체는 시공간에서 빛의 속도로 운동하고 있다.  y축은 시간의 방향, x축은 공간의 방향으로 상정된 시공간 좌표계를 생각해 본다. 정지한 물체는 시간의 방향으로 광속운동을 한다. 물체가 x축 방향으로 공간운동을 시작하면 y축방향의 시간방향의 속도가 줄어든다. 물체가 x축방향으로 공간운동을 광속으로 운동하면, y축 시간방향으로는 속도가 0 이된다. 정말 멋지고 단순한 설명이 아닌가? 이로써 시간의 절대성은 사라지고, 시간의 수축이 발생하는 것이다.

특수상대성이론의 핵심사항중 한가지는 등속운동을 하는 물체에 대한 이론이란 것이다. 아인쉬타인은 일반상대성이론을 통해 가속운동을 하는 물체에도 적용되는 이론을 만들어 낸다. 일반상대성이론의 핵심은 등가원리이다. 중력과 가속운동은 구별할 수 없다. 그리고 중력에 의해서 시공간이 휘어진다는 사실을 알아낸다. 이 휘어진 시공간을 운동하는 광자 즉 빛의 흐름도 휘어진다. 브라이언은 시공간 단면도를 이용하여, 공간의 휘어지는 현상을 설명한다. 등속운동을 하는 관측자들의 시공간 단면들은 서로에 대해 일정한 각도로 기울어져 있다. 한 관측자에 의해 동시라고 판명되었던 사건들이 다른 관측자에 의해서는 동시로 인정되지 않는 상황이 발생한다. 하지만 둘 다 옳다. 모든 시공간 단면을 합치면 동일한 시공간을 형성하게 되는것이다. 하지만 가속운동을 하는 관측자의 시공간은 평면이 아닌 휘어진 면으로 구성된다. 질문 하나,

x축으로 등속 운동을 하고 있는 기차의 양 끝에 이치와 스크래치가 총을 겨누고 있다. 기차의 객차 정중간, 이치와 스크래치의 정중간에서 빛이 발생하고, 이 빛을 감지한 이치와 스크래치가 동시에 총을 발사하여 두 총알이 객차의 중간에서 부딪힌다. 기차에 타고 있던 심판관은 이 총알이 정중앙에서 충돌하였음을 증언한다. 하지만 기차밖 플랫폼에서 이것을 관찰하고 있던 제 2의 심판관은 어떻게 판단할까? 기차가 진행하는 방향으로 서 있는 이치의 눈에 빛이 먼저 도달한다. 이치는 스크래치보다 먼저 총을 발사한다. 그리고 조금 있다 스크래치가 총을 발사한다. 그러면 이 총알은 어디에서 충돌하게 되는가? 이치의 총알이 정중앙에서 혼자서 박살이 나고, 뒤이어 스크래치의 총알이 객차의 중앙에서 박살이 나는 장면을 보게될까?  아니면, 이치의 총알이 정중앙을 통과하고 나서 스크래치의 총알과 충돌을 하게 될까? 

마커스 초운 지음, 정병성 옮김  마티 출판사

현대과학은 양자역학과 상대성원리로 압축된다.

작은 것들의 나라인 양자의 세계는 우리의 직관과 맞지 않는 이상한 나라의 앨리스와 같다.

원자의 대부분은 빈공간이다.

빛은 입자이면서 동시에 파동이다.

예측불가능한 미시세계, 하지만 확률적으로만 예측할 수 있을뿐

동시에 두군데 이상 존재하는 입자? 다중우주의 존재의 근거?

아인쉬타인의 상대성원리에 의하면 동시성이라는 것도 상대적인 것인데, 어떻게 양자의 세계에서는 동시성을 확신있게 이야기할 수 있는가?

중첩이 파괴되는 현상...결흐트러짐

하이젠베르크의 불확정성원리의 의미는? 미립자의 위치와 속도를 둘 다 정확하게 알 수는 없다. 단지 측정상의 문제가 아니라 존재 자체가 그런 의미가 있다고 하는데, 이해하기가 좀 어렵다. 양으로 대전된 핵에 음으로 대전된 전자가 왜 빨려들지 않는 것일까? 원자의 대부분이 빈 공간인 이유는 무엇일까? (원자는 원자핵보다 10만배가 크다) 이 모두가 불확정성원리때문이라고...

연료를 다 소비하고 빠르게 수축하는 별들이 무한대로 무너지는 것을 막아내는 것은 전자의 힘이다. 원자가 압축되면서 전자가 핵에 접근함에 따라 전자의 속도는 무서운 속도로 증가하고(불확정성원리) 이 전자의 움직임이 내향중력과 균형을 유지하면서 형성되는 것이 백색왜성이다. 찬드라세카 한계를 넘어서는 별들의 경우에 전자는 핵속의 양자와 반응하여 중성자로 변한다. 중성자 축퇴압이 중력과 평형을 이룰 때 중성자 별이 탄생하는 것이다. 중성자별은 빈공간이 전혀 없는 원자핵덩어리다.

비국소성...한 쌍의 입자가 서로 얽혀 있어 순식간에 정보를 전달하는 현상. 빛의 속도를 능가하는 정보 전달속도...ㅋㅋ 아인쉬타인이 미칠듯한 이유도 이해할 만, 이 비국소성을 이용한 공간이동도 가능할 것이라고,

구별 불가능성..파우리의 배타원리...보존과 페르미온...쩝! 많이는 들어보았으나, 아직 머리 속에 확 들어오지는 않는다.

큰 것들의 세계

특수 상대성 원리...빛의 속도는 상대적으로 등속운동을 하는 모든 좌표계에 대하여 일정하다. 고전 물리학에서는 변하지 않는 공간과 시간을 무대로 성립한다. 하지만 특수 사대성 원리에 의하면, 시간과 공간은 고정 불변의 것이 아니라, 상대적 속도에 의하여 달라지는  변수가 된다.

유일하게 변하지 않는 것은 빛의 속도일 뿐. 공간과 시간이 늘어나거나 줄어든다. (왜 광속은 불변인가?)동시성 개념도 광속이라는 불변의 상수에 의해 허물어져 버린다. 동시에 사건이 일어나는 것이란 무슨 의미일까? 아인쉬타인 보다 먼저 시공간의 개념을 꿰뚫어 본 사람은 헤르만 민코프스키, 공간과 시간은 별개의 것이 아닌 하나인 것을. 물체가 광속에 가까워질 수록 질량이 증가한다. 광속에 도달하는 순간 그 질량은 무한대...결코 광속과 같아질 수가 없다. 물체를 광속에 접근하도록 가속시키려면 에너지가 필요하다. 에너지가 투입되어 물체가 광속에 가까워질 수록 질량이 증가한다. 이 관계에서 나온 것이 그 유명한 아인쉬타인 공식  E=mc^2

일반 상대성 원리...가속하는 좌표계는 중력의 효과와 유사한 결과를 보여준다. 중력은 별도로 존재하는 것이 아니다. 중력과 가속도는 같은 것이다. 이렇듯 중력과 가속도의 구별 불가능성을 등가원리라고 부른다. 중력은 휘어진 공간이다.(공간이 휘어진 방향은...우주의 중심이겠지, 그러나 이 우주의 중심은 우리 우주 속에 있지 않다. 대폭발장소도 현재 우리의 우주속에 있지 않겠지. 그것은 우리가 감지할 수 없는 차원속에 있겠지. 풍선의 중심은 풍선의 표면에 있지 않고, 풍선의 내부 깊숙한 곳에 있다. 그러면 우리가 관찰하는 아주 먼 곳의 은하나 별들은 우리의 우주의 차원이 아닌 다른 방향으로 뻗어 있은 또다른 차원으로 뻗은 곳에 있는 것이리라. 블랙홀이 빠져든 곳도 다른 차원, 이전 우리의 우주가 있던 초기 우주 속으로 뻗어 있는 것일까?)

일반 상대성 원리가 예측하는 것 중 한가지는 빛이 중력때문에 휜다는 것 그리고 수성의 근일점 이동, 블랙홀의 존재

블랙홀 사건의 지평선가까이에서는 시간이 느리게 흐른다. 블랙홀에서부터 멀리 떨어진 곳에서 블랙홀 가까이 접근할 수 있는 길이 있다면

과거로의 여행이 가능한 것을...웜홀이 있다고라? 일반 상대성 이론의 또 다른 예측을 대폭발이다. 정적인 우주를 구현하기 위해 도입한 아인쉬타인의 우주척력(우주상수)는 아인쉬타인 스스로 페기해버렸지만, 현대우주물리학에선 다시 그것이 새로운 암흑에너지의 형태로 되살아 난다. 끈이론, 초끈이론, M이론...아직 가야 할 길은 요원하다.

다루는 내용은 깊이가 있지만, 설명하는 방식은 크게 깊어보이지 않는다. 필자 스스로 쉬운 예를 들어가면 쉽게 설명하려 했다고 한다. 특히 상대성원리와 관련된 것들을 많이 생각해 볼 수 있는 기회가 되었던 것 같다. 상대성원리와 양자역학의 연결고리는

퀀텀=유니버스 이어야 하는데, 아직은 그 고리가 끊겨져 있다. 이렇게 퀀텀 :: 유니버스

페르마의 마지막 정리

푸랭카레가 묻고 페렐만이 대답하다

소수의 음악

리만가설

Why Beauty Is Truth by Ian Stewat

서문

에바리스트 갈루아...이 책의 시작을 알린다. 그로 부터 시작된 군론이 이 책의 핵심중 하나이다. 군론은 대칭과 관련이 있는 개념이다.

사실 이 책에서 이야기하는 아름다움은 대칭인 것 같다.

1장 바빌론의 서기관들

아...고대 바빌론은 2차방정식의 해법을 알고 있었다. 기하학적이 해법이 인상적이다. 몇번 읽어 보고, 실제해 보면서 그 방법을 익혔는데,

고등학교때인가 배운 2차방정식의 근의 공식을 유도해내는 과정과 아주 흡사하다. 하지만 그것보다 더 직관적이며 시각적이어서, 이해하기가 한결 수월하다. 아주 놀라운 해법이다. 대수와 기하가 이렇게 연관이 되다니...

2장 간판스타

[기하학원론]을 쓴 것으로 알려진 유클리드가 간판스타이다. [기하학 원론]은 성서 다음으로 많이 읽혀진 책이라는데, 갑자기 그 책을 읽거 보고 싶다. 많은 저명한 과학자들이 이 책으로부터 영감을 받았다고 하는데, 과연 그들은 이 책에서 무엇을 발견했더란 말인가?

인상적인 말은 "우리의 이야기에서 중요한 부분은 [원론]이 담고 있는 내용이 아니라, 담고 있지 않은 내용이다." 원론에 담겨 있지 않은 일부 문제들은 그 이유를 찾는 과정에서 수학의 지평을 크게 넓혀왔다. 답이 없는 문제에 대해 '왜 답이 없지?'라고 묻고 그 이유를 찾는 과정에서 새로운 수학이 창조되고, '자연과학에서 수학이지니는 비합리적인 효용성'의 실제적인 예가 되어 왔다는 것은 참 놀랍다.

3장 페르시아의 시인

우마르 하이얌-그리스 기하에 바탕을 둔 3차방정식의 해법의 발견

페르마의 마지막 정리는 디오판토스의 [산술]의 여백에 낙서처럼 적힌 페르마의 추측에서 비롯하여 350년이라는 시간 후에 앤드루 와일즈에 의해 증명이 된다.

4장 도박하는 수학자

이 사람은 카르다노를 지칭하는 말이렷다. 시기는 1500년대 중반

3차방정식의 대수적 해법의 발견에는 여러 사람이 관련이 된다.  1515년 경 델 페로는 3차방정식 유형중 일부에 대한 해법을 발견한다. 타르탈리아는 델 페로의 방식을 재발견하며, 카르다노의 끈질긴 설득 끝에 타르탈리아가 그 해법을 알려준다. 3차방정식의 근의 공식은 카르다노의공식으로 알려지게 된다. 3차방정식을 풀 때 나타나는 허수에 대해 어떻게 보아야 할 지에 대한 당황스러운 상황이 발생하게 된다. 봄벨리는 음수의 제곱근 잘 조작하면 쓸모 있는 결과를 얻을 수 있음을 인식하게 된다.페라리는 4차방정식의 해법을 발견한다.

5장 발자국을 감추는 여우

가장 위대한 수학자중 한 사람인 가우스, 그는 발자국을 감추는 여우처럼, 어떤 수학 정리를 증염하거나 생각해내는 데 있어, 어떻게 그러한 아이디어나 직관을 얻게 되었는지 철저히 감추었다. 비유클리드기하학에 대한 이론도 그의 생각에 이미 존재했던 것이다. 보여이나 로바체프스키가 비유클리드기하를 발견하기 전에, 그리고 그의 유명한 제자 리만은 곡면에 대한 가우스의 연구를 다차원공간으로 확장시켜 결국은 아인쉬타인의 중력이론의 핵심부분을 증명하는데 사용되게 된다.

6장 좌절한 의사와 병약한 천재

방데르몽드의 대칭함수

라그랑주 "지금까지 발견된 방정식의 다양한 해법...왜 이러한 방식들이 3,4차에서는 성공했지만 그보다 더 높은 차수의 방정식에서는 실패했는지 설명해 보려한다." 왜 실패했는지 설명하려는 시도가 수학자로서 새로운 지평을 여는 사고 방식이었다.

루피니, 5차방정식을 근호로 풀 수 없다는 것을 증명했다고 믿었다. 그는 치환이라는 개념에 기반하여 연구를 했다. 여기서 대칭문제가 서서히 수면에 떠오른다. 루피니의연구가 제대로 인정받지 못했던 이유중 한가지는 그와 같은 독창적인 증명방식때문일지도 모른다. 대단한 업적이었으나 인정받지 못하고 죽기 불과 1년전에 코시로 부터 찬사를 얻게된다. 그는 좌절한 의사이었다.

그러면 그 뒤를 이은 병약한 천재는...아벨이다. 1823년 말에 그는 5차방정식의 풀이가 불가능함을 증명했고, 아깝게 실패했던 루피니와는 달리 그의 증명에는 어떤 결함도 없었다. 아벨은 폐렴에 걸려 약혼자의 품안에서 그의 생을 마감하게된다.

7장 불운한 혁명가

아벨이 사망하자 마자 어떤 5차방정식은 근호만을 써서 풀 수 없다는 증명이 인정받기 시작했다. 그런 와중에 몇몇의 천재적인 수학자들은 근호로 풀 수 있는 5차방정식도 존재한다는 사실을 증명해 냈다.

문제는..... 만약 어떤 5차방정식은 풀리는데 반해 다른 5차 방정식은 풀리지 않는다면, 그 둘을 구분할 수 있는 기준은 무엇일까? 이 의문에 대한 해답은 수학과 수리물리학이 진로를 바꾸어 놓았다.

'그래요 모두 아주 멋진 증명입니다....그런데 그 증명이 '정말로' 맞아 들어가는 이유는 뭘까요?' 뎅뎅뎅...이 무슨 소리람?

갈루아...더 깊이 사고하는 수학자? 정말로 불운했던 수학자, 그의 논문은 여러차례 분실되었고, 그는 혁명에서도 성공하지 못했으며, 사랑에서도 성공하지 못하고, 결국은 결투에서... 목숨을 잃고 만다.

갈루아는 수학에 새로운 관점을 도입했다. 갈루아의 손에서 수학은 숫자와 도형들의 학문이기를 중단했다. 수학은 구조에 관한 학문이 되었다. 개체에 관한 학문이 과정에 과한 학문이 되었다. 이러한 전환은 라그랑주, 코시, 루피니, 아벨에 의해 시작된 흐름이었다.

거의 유실될 뻔한 그의가치는 1843년 리우빌에 의해 그 가치를 인정받고 관심을 환기받게 되었다.

갈루아의 방식에 대한 이해가 깊어지면서 새롭고 강력한 수학적 개념이 생겨났는데, 이것이 군에 대한 개념이다. 수학의 한 분야를 통채로 아우르는 군론으로 불리는 대칭 계산법이 생겨났고, 그이후로 그것은 수학의 모든 분야에 침투하였다.

조르당의 표현론, 아서케일리의 선형변환행렬???

8장 평범한 기술자이자 탁월한 교수

1814년 피엘 로랑 완첼

각의 삼등분 작도와 입방배적 문제가 작도 불가능함을 보인 완첼의 증명속에는 더 추상적인 관점에서 비롯된 심오한 구조가 숨겨져 있다. 고대의 두 문제에 대한 완첼의 해법은 모두 대칭과 관련된 논의로 압축된다. 방정식의 갈루아 군은 유클리드식 작도에 적합하지 않은 구조를 지닌 기하에 대응된다.

대수적 수와 초월수

람베르트는 파이가 무리수임을 증명하였으며, 그의 증명 방식은 이후의 모든 연구를 가능하게 했다. 그는 적분개념을 필수적 요수로 사용했다. 리우빌은 초월수의 존재를 증명하였다.  샤를 에르미트는 e가 초월수임을 증명하였고, 린데만은 파이가 초월수라는 증명을 하였다. 힐베르트가 린데만의 제자라니...

린데만의 증명은 원적문제가 작도 불가능하다는 지엽적인 문제를 해결하는데 그 의미가 있는 것이 아니다. 중요한 문제는 그것이 어째서 불가능한지에 대해 수학자들이 알게되었다는 사실이다. 초월수는 대수식의 근이 될 수 없다는 것...

9장 공공 시설물에 낙서한 취객

아일랜드가 낳은 위대한 수학자 윌리엄 로언 해밀턴은 그가 최고의 업적으로 자평하고 죽기까지 그렇게 믿었던 4원수의 원리가 되는 식을 ...브룸다리의 돌에 새겨넣었다. i^2=j^2=k^2=ijk=-1

4원수의 발견으로 곱셈의 교환법칙과 함께 2차방정식이 두개의 해를 갖는다는 법칙이 깨어져 버렸다. 4원수체계안에서는 -1의제곱근이 무한히 많다.

실수체는 순서가 있으며 완비되어 있다는 두가지 특성을 갖는 유일한 체이다.

유리수도 순서체이기는 하나, 완비되어 있지는 않다.

복소수는 음수의 제곱근을 취하는 일이 가능해졌지만 순서를 잃어 버렸다. 복소수는 완비된 체계지만 단일한 순서에 의해 정렬되지 않고 평면 위에 넓게 퍼져 있다. 4원수체계에서는 곱셈의 교환법칙을 포기해야만 한다.

10장 군인 지망생과 병약한 책벌레

마리우스 소푸스 리

임의의 미분 방정식을 특정한 방식으로 풀 수 있는지 판단하는 기준이 있을까? 해답의 열쇠는 대칭에 있었다. 리는 가하에 관한 자신의 연구 결과 일부가 미분 방정식의 관점에서 재해석될 수 있음을 깨달았다. 특정 미분방정식의 해가 하나 주어질 경우, 그 해에 벼환을 적용하면 변환의 결과 역시 해가 됨을 증명할 수 있었다. 하나의 해로 부터 많은 해를 얻을 수 있었고, 이러한 해들은 모두 군으로 연결되어 있었다.

어렵당...

빌헬름 카를 요제프 킬링...병약한 책벌레

모든 가능한 리군에 대해 기술하고자 시도했었다. 그리고 리군이 리대수와 관련이 있으며, 리대수가 리군보다 다루기 쉽다는 점을 깨달아 가능한 모든 리대수를 분류하는 일을 ...결국 모든 리대수를 구성하는 기본적인 요소(단수리대수)를 기술하는 일에 만족해야했다.

킬링은 오늘날 G2로 알려진 리군에 대응하는 단순리대수를 발견..., 예외적 G2에게 다섯 친구가 생겼다. 56차원군둘과 78차원,133차원, 248차원의 군으로구성된 간단한 족하나...

킬링이 언급한 네가지 구조는 리대수인 su(n), so(2n), so(2n+1), sp(2n)

G2,F4,E6,E7,E8 로 알려진 다섯개의 예외적 단순리대수의 존재

4원수와 8원수로 연결되는 비밀통로...

카르탕이 킬링의 연구가 지니는 진정한 가치를 세상에 알린다.

아아아아...힘들다...이제 고만...물리학으로의 진입되는 부분은 더 어렵다...ㅋㅋ  

물질 세계를 구성하는 기본 원자들이 있는 것처럼, 수의 세계에서는 소수가 있다. 소수는 모든 수를 생성한다.

하지만 정확히 어떤 시점에서 소수가 출현할지는 알 수가 없다. 그 소수를 알아내는 식을 수학자들은 찾지 못했다.

하지만 가우스는 관점을 바꾸어 생각을 했다. 어떤 범위안의 소수의 갯수를 살펴봄으로 소수의 분포상황을 알아 보았더니, 보다 체계적인 윤곽이 어렴풋이 보였던 것이다. 그것은 log함수로 나타나는 데, 자연로그 e(=2.7182818479...)가 거듭제곱될 때마다 소수의 갯수가 1씩 증가하는 양상을 보였던 것이다. 평균 logN 개의 수를 셀 때마다 한개의 소수가 출현하다는 것이다. 이에 따라 다음의 추측이 성립이 된다.

가우스의 소수추측 1: pi(N)= N/logN   임의의 수 N까지의 소수의 갯수는 N * logN이다.

가우스의 소수추측 2: pi(N)= Li(N) = 1/log2 + 1/ log3 +...+ 1/logN       임의의 수 N이 소수일 확률은 1/logN 이다. 임의의 수 N까지의 소수의 갯수는 위의 식과 같다.

골드바흐의 추측: 임의의 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.